187. Однородные функции.
Как известно, однородными многочленами называются многочлены, состоящие из членов одного и того же измерения. Например, выражение
есть однородный многочлен второй степени. Если умножить здесь х и у на некоторый множитель t, то весь многочлен приобретет множитель t во второй степени. Подобное обстоятельство имеет место для любого однородного многочлена.
Однако и функции более сложной природы могут обладать таким же свойством; если взять, например, выражение
то и оно приобретает множитель 
при умножении обоих аргументов х и у на t, уподобляясь в этом отношении однородному многочлену второй степени. Подобную функцию естественно также назвать однородной функцией второй степени.
Дадим общее определение:
Функция 
от 
аргументов, определенная в области называется однородной функцией 
степени, если при умножении всех ее аргументов на множитель t функция приобретает этот же множитель в 
степени, т. е. если тождественно выполняется равенство
Для простоты мы ограничимся предположением, что 
и t здесь принимают лишь положительные значения. Область в которой мы рассматриваем функцию 
вместе с любой своей точкой 
предполагается содержащей и все точки вида 
при 
т. е. весь луч, исходящий из начальной точки и проходящий через точку М.
Степень однородности 
может быть любым вещественным числом; так, например, функция
является однородной функцией степени 
от аргументов х и у.
Постараемся теперь получить общее выражение однородной функции степени 
.
Пусть сперва 
есть однородная функция нулевой степени; тогда
Положив 
получим
Если ввести функцию от 
аргументов:
то окажется, что
Итак, всякая однородная функция нулевой степени представляется в виде функции отношений всех аргументов к одному из них. Обратное, очевидно, также верно, так что предшествующее равенство дает общее выражение однородной функции нулевой степени.
Если 
есть однородная функция 
степени (и только в этом случае), отношение ее к 
будет однородной функцией нулевой степени, так что
Таким образом, мы получаем общий вид однородной функции степени 
Пример:
