ГЛАВА СЕДЬМАЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ

§ 1. Аналитическое представление кривых и поверхностей

223. Кривые на плоскости (в прямоугольных координатах).

В настоящей главе мы остановимся на некоторых приложениях изученных понятий, фактов и методов дифференциального исчисления к геометрии. [С немногими из них мы сталкивались уже выше п° 91, 141, 143, 145,148, 180.]

Мы считаем полезным предварительно напомнить читателю различные способы аналитического представления кривых и поверхностей; этому посвящен § 1. Оговорим наперед, что функции, о которых будет идти речь в этой главе, как правило, предполагаются непрерывными и имеющими непрерывные же производные по своим аргументам; в случае надобности, мы будем требовать существования и непрерывности и дальнейших производных.

Начнем с плоских кривых, причем в основу положим некоторую прямоугольную систему координат

Выше мы не раз рассматривали уравнение вида

и изучали соответствующую ему кривую [47, 91, 146 и след.]. Такого рода задание кривой, когда одна из текущих координат ее точки представляется в виде (однозначной) явной функции от другой координаты, мы будем называть явным заданием (или представлением) кривой. Оно обладает простотой и наглядностью; как увидим, всякое другое задание - в некотором смысле - может быть сведено к этому.

В связи с теорией неявных функций нам приходилось также говорить о неявном задании кривой, т. е. о представлении кривой уравнением вида

неразрешенным ни относительно х, ни относительно у [205 и след.]. Такое уравнение носит название неявного уравнения кривой.

Из теорем о существовании неявной функции [205, 206] следует, что если в точке кривой выполнено условие

то, по крайней мере, в некоторой окрестности этой точки кривая может быть представлена явным уравнением (1) того или другого вида (причем фигурирующая в нем функция или непрерывна вместе со своей производной).

Таким образом, только точки кривой, для которых выполняются сразу оба условия

могут иметь ту особенность, что в их окрестности кривая не представима явным уравнением (ни того, ни другого вида). Точки кривой, удовлетворяющие уравнениям (3), и называют особыми.

Ниже [236] мы займемся вопросом о поведении кривой (2) вблизи особой точки. Но, как правило, особые точки будут исключаться из рассмотрения, и мы будем изучать кривую лишь в окрестности ее обыкновенной (т. е. неособой) точки.

Наконец, в предыдущем изложении не раз упоминалось о том, что уравнения вида

устанавливающие зависимость текущих координат точки от некоторого параметра t, также определяют кривую на плоскости [см., например, 106]. Подобные уравнения называют параметрическими; они дают параметрическое представление кривой.

Рассмотрим точку определяемую значением параметра, и предположим, что при будет Тогда и вблизи этого значения t производная - по непрерывности - будет сохранять тот же знак; функция оказывается монотонной [132]. При этих условиях, в силу 83 и 94, можно t рассматривать как однозначную функцию от непрерывную и имеющую непрерывную же производную. Подставив эту функцию вместо t в выражение для у, установим непосредственную зависимость у от х

где - снова - функция непрерывна вместе со своею производной; таким образом, мы выразим явным уравнением, по крайней мере, участок кривой, примыкающий к взятой точке. Аналогичное заключение можно сделать, если даже но 0, с той единственной разницей, что получится явное уравнение другого вида:

Лишь в том случае, когда одновременно

кривая в окрестности рассматриваемой точки может оказаться не представимой явным уравнением; такую точку будем называть особой.

В 237 мы остановимся вкратце на виде кривой (4) вблизи особой точки, но, как правило, и здесь мы будем изучать лишь обыкновенные точки.

Важно теперь оговориться, что все сказанное выше об обыкновенной точке т. е. такой, для которой не выполняются условия (5), предполагает еще, что эта точка получается только при одном значении параметра (т. е., как говорят, является простой точкой). Если бы, наоборот, точка была кратной и отвечала, например, двум различным значениям параметра то в ней, вообще говоря, пересекались бы два участка кривой: один, определяемый значениями t, близкими к а другой - значениями t, близкими к . В этом случае всю кривую в окрестности данной точки опять-таки нельзя было бы представить явным уравнением. Таким образом, кратные точки также по существу следует относить к особым.

Подведем итоги сказанному. Мы не пытались дать геометрическую характеристику понятия кривой: для нас кривая есть геометрическое место точек, удовлетворяющих аналитическому соотношению вида (1), (2) или (4), - в предположении непрерывности встречающихся в них функций и их производных. Правда, геометрические образы, определяемые этими различными способами, в целом могут значительно разниться по своему облику, но в малом, в окрестности обыкновенной (а в случае параметрического задания и простой) точки, все они уподобляются тем простейшим образам, которые задаются уравнениями вида (1).