87. Теорема Кантора.

Если функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке то она и равномерно непрерывна в этом промежутке.

Доказательство поведем от противного. Пусть для некоторого определенного числа не существует такого числа

о котором идет речь в определении равномерной непрерывности. В таком случае, какое бы число ни взять, найдутся в промежутке такие два значения что

Возьмем теперь последовательность положительных чисел так, что

В силу сказанного, для каждого найдутся в значения (они играют роль такие, что (при

По лемме Больцано-Вейерштрасса [41] из ограниченной последовательности можно извлечь частичную последовательность, сходящуюся к некоторой точке промежутка Для того чтобы не осложнять обозначений, будем считать, что уже сама последовательность сходится к

Так как то одновременно и последовательность сходится к Тогда, ввиду непрерывности функции в точке должно быть

так что

а это противоречит тому, что при всех значениях

Теорема доказана.

Из доказанной теоремы непосредственно вытекает такое следствие, которое ниже будет нам полезно:

Следствие. Пусть функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке . Тогда по заданному найдется такое что если промежуток произвольно разбить на частичные промежутки с длинами, меньшими то в каждом из них колебание функции будет меньше е.

Действительно, если, по заданному в качестве взять число, о котором говорится в определении равномерной непрерывности, то в частичном промежутке с длиной, меньшей разность между любыми двумя значениями функции будет по абсолютной величине меньше е. В частности, это справедливо и относительно наибольшего и наименьшего из этих значений, разность которых и дает колебание функции в упомянутом частичном промежутке [85].