ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

§ 1. Производная и ее вычисление

90. Задача о вычислении скорости движущейся точки.

Начнем с частного примера, именно, рассмотрим свободное падение (в пустоте - чтобы не учитывать сопротивления воздуха) тяжелой материальной точки.

Если время t (сек.) отсчитывается от начала падения, то пройденный за это время путь по известной формуле, выразится так:

где Исходя из этого, требуется определить скорость движения точки в данный момент t, когда точка находится в положении М (рис. 36).

Рис. 36.

Придадим переменной t некоторое приращение и рассмотрим момент когда точка будет в положении Приращение пути за промежуток времени обозначим через Подставляя в вместо t, получим для нового значения пути выражение

откуда

Разделив на мы получим среднюю скорость падения точки на участке

Как видим, эта скорость меняется вместе с изменением тем лучше характеризуя состояние падающей точки в момент t, чем меньше промежуток протекший после этого момента.

Скоростью точки в момент времени t называют предел, к которому стремится средняя скорость за промежуток когда стремится к 0.

В нашем случае, очевидно,

Аналогично вычисляется скорость общем случае прямолинейного движения точки. Положение точки определяется ее расстоянием отсчитываемым от некоторой начальной точки О; это расстояние и называется пройденным путем. Время t отсчитывается от некоторого начального момента, причем не обязательно, чтобы в этот момент точка находилась в О. Движение считается вполне заданным, когда известно уравнение движения: из которого положение точки определяется для любого момента времени; в рассмотренном примере такую роль играло уравнение (1).

Для определения скорости в данный момент t пришлось бы, как и выше, придать t приращение этому отвечает увеличение пути s на Отношение

выразит среднюю скорость за промежуток Истинная же скорость в момент t получится отсюда предельным переходом:

Мы рассмотрим ниже другую важную задачу, приводящую к подобной же предельной операции.