219. Функции нескольких переменных. Замена независимых переменных.
Перейдем теперь к задаче о преобразовании выражения
содержащего, кроме независимых переменных 
и функции от них z, также частные производные z по ее аргументам, до определенного порядка.
По тем же мотивам, что и в простейшем случае, рассмотренном выше, и здесь может понадобиться перейти к новым переменным, которые со старыми связаны с помощью формул преобразования. Если обозначить новые независимые переменные через 
а функцию от них - через 
то задача состоит в том, чтобы выразить 
через 
и через производные от 
по ее аргументам. Очевидно, достаточно научиться делать это по отношению к старым производным — 
Для простоты письма мы будем предполагать, что независимых переменных всего две: старые х и у, а новые t и u.
Начнем и здесь с того случая, когда заменяются лишь независимые переменные, и формулы преобразования непосредственно связывают старые переменные х, у с новыми t, u.
Предположим, что формулы преобразования разрешены относительно старых переменных:
Рассматривая z как сложную функцию от t и u через посредство 
и у, по правилу дифференцирования сложных функций получим:
Таким образом, для определения старых производных 
мы имеем систему линейных уравнений; отсюда старые производные линейно выразятся через новые 
При этом важно отметить, что коэффициенты 
составляются из производных функций 
фигурирующих в формулах (8), но вовсе не зависят от z
Это замечание позволяет применить формулы (10) к производным 
(вместо 
). Таким путем, например, для - получится выражение
Применяя (10) к производным второго порядка (вместо 
можно получить выражения для производных третьего порядка, и т. д.
Если формулы преобразования разрешены относительно новых переменных:
то удобнее прибегнуть к обратному методу, т. е. рассматривать z как сложную функцию от х, у через посредство 
, и дифференцировать ее по старым переменным. Это сразу приведет нас к формулам типа (10):
На этот раз коэффициенты
будут функциями от x, у, но также не зависят от z.
Применяя повторно формулы (11), можно и здесь получить выражения дальнейших производных. Например,
Наконец, в общем случае, при произвольных формулах преобразования
можно пользовался как прямым, так и обратным методом, вычисляя частные производные
по правилам дифференцирования неявных функций.
