§ 3. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных

177. Частные производные и частные дифференциалы.

Для упрощения записи и изложения мы ограничимся случаем функций от трех переменных; все дальнейшее, однако, справедливо и для функций любого числа переменных.

Итак, пусть в некоторой (открытой) области имеем функцию возьмем точку в этой области. Если мы припишем у и z постоянные значения и будем изменять х, то и и будет функцией от одной переменной х (в окрестности можно поставить вопрос о вычислении ее производной в точке Продадим этому значению приращение тогда функция получит приращение

которое можно было бы назвать ее частным приращением (по поскольку оно вызвано изменением значения лишь одной переменной. По самому определению производной, она представляет собою предел

Эта производная называется частной производной функции по х в точке

Как видим, в этом определении не все координаты равноправны, так как наперед фиксированы, а х меняется, стремясь к

Частную производную обозначают одним из символов:

Заметим, что буква х внизу в этих обозначениях лишь указывает, по какой из переменных берется производная, и не связана с тем, в какой точке мы производную вычисляем.

Аналогично, считая х и z постоянными, а у переменным, можно рассматривать предел

Предел этот называется частной производной функции по у в точке и обозначается символами, аналогичными предыдущим:

Точно так же определяется и частная производная функции по z в точке

Самое вычисление частной производной по существу не представляет ничего нового по сравнению с вычислением обыкновенной производной.

Примеры. 1) Пусть частные производные этой функции будут:

Первая из них вычисляется как производная степенной функции от (при ), а вторая - как производная показательной функции от у (при ).

3) Для имеем

4) Пусть где - произвольная функция (имеющая производную). Показать, что для z всегда выполняется соотношение:

какова бы ни была функция

По правилу дифференцирования сложной функции (означая штрихом производную по и) имеем

и отсюда

5) Сторона а треугольника определяется по двум другим сторонам с и заключенному между ними углу а так:

Тогда

6) Известная из физики формула Клапейрона выражает связь мезвду объемом V, давлением и абсолютной температурой Т одного моля идеального газа и определяет одну из величин р, V, Т как функцию двух других. Если - независимые переменные, функция от

Если роль независимых играют переменные функция от них: то

Пусть, наконец, V и Т - независимые переменные, - функция от них: тогда V

Отсюда, между прочим, получается важное в термодинамике соотношение

Заметим, что обозначения Якоби частных производных (с круглыми д) следует рассматривать только как цельные символы, а не как частные или дроби. Полученное только что соотношение с особенной ясностью подчеркивает это существенное различие в характере обозначений обыкновенных и частных производных: если бы выписанные в левой части производные были обыкновенными, то можно было бы их рассматривать как частные одних и тех же дифференциалов, и по сокращении мы получили бы 1, вместо -1; здесь же, как мы видим, этого делать нельзя.

Произведение частной производной на произвольное приращение называется частным дифференциалом по х функции и; его обозначают символом

Если и здесь под дифференциалом независимой переменной х разуметь приращение то предыдущая формула напишется так:

Аналогично,

Таким образом, мы видим, что можно было бы и частные производные представить в виде дробей

но при непременном условии указывать, по какой переменной берется дифференциал.