110. Теорема Дарбу

(G. Darboux). Если функция имеет конечную производную в промежутке то функция принимает, в качестве значения, каждое промежуточное число между

Доказательство. Сперва предположим, что имеют разные знаки, например, что и докажем существование точки с между а и в которой производная обращается в нуль. В самом деле, из существования конечной производной

следует непрерывность функции а тогда, по 2-й теореме Вейерштрасса принимает в некоторой точке с свое наибольшее значение. Эта точка с не может совпадать ни с а, ни с так как, согласно лемме, больше вблизи точки а (справа) и больше вблизи точки (слева). Итак, Тогда, по теореме Ферма, получаем

Переходя к общему случаю, возьмем любое число С, заключенное между пусть, для определенности, Рассмотрим вспомогательную функцию она непрерывна и имеет производную в промежутке

Так как то по доказанному, существует такая точка с в которой

Доказанная теорема имеет большое сходство со 2-й теоремой Коши [82], согласно которой всякая непрерывная функция переходит от одного значения к другому, лишь переходя через все промежуточные числа. Однако, теорема Дарбу отнюдь не является следствием теоремы Коши, так как производная непрерывной функции сама может и не быть непрерывной функцией.