следует непрерывность функции
а тогда, по 2-й теореме Вейерштрасса
принимает в некоторой точке с свое наибольшее значение. Эта точка с не может совпадать ни с а, ни с
так как, согласно лемме,
больше
вблизи точки а (справа) и больше
вблизи точки
(слева). Итак,
Тогда, по теореме Ферма, получаем
Переходя к общему случаю, возьмем любое число С, заключенное между
пусть, для определенности,
Рассмотрим вспомогательную функцию
она непрерывна и имеет производную
в промежутке
Так как
то по доказанному, существует такая точка с
в которой
Доказанная теорема имеет большое сходство со 2-й теоремой Коши [82], согласно которой всякая непрерывная функция переходит от одного значения к другому, лишь переходя через все промежуточные числа. Однако, теорема Дарбу отнюдь не является следствием теоремы Коши, так как производная
непрерывной функции сама может и не быть непрерывной функцией.