следует непрерывность функции 
а тогда, по 2-й теореме Вейерштрасса 
принимает в некоторой точке с свое наибольшее значение. Эта точка с не может совпадать ни с а, ни с 
так как, согласно лемме, 
больше 
вблизи точки а (справа) и больше 
вблизи точки 
(слева). Итак, 
Тогда, по теореме Ферма, получаем 
Переходя к общему случаю, возьмем любое число С, заключенное между 
пусть, для определенности, 
Рассмотрим вспомогательную функцию 
она непрерывна и имеет производную 
в промежутке 
Так как 
то по доказанному, существует такая точка с 
в которой
Доказанная теорема имеет большое сходство со 2-й теоремой Коши [82], согласно которой всякая непрерывная функция переходит от одного значения к другому, лишь переходя через все промежуточные числа. Однако, теорема Дарбу отнюдь не является следствием теоремы Коши, так как производная 
непрерывной функции сама может и не быть непрерывной функцией.
имеет конечную производную в промежутке 
то функция 
принимает, в качестве значения, каждое промежуточное число между 
имеют разные знаки, например, что 
и докажем существование точки с между а и 
в которой производная обращается в нуль. В самом деле, из существования конечной производной
