106. Инвариантность формы дифференциала.

Правило дифференцирования сложной функции приведет нас к одному замечательному и важному свойству дифференциала.

Пусть функции таковы, что из них может быть составлена сложная функция: . Если существуют производные то - по правилу V [98] - существует и производная

Дифференциал если х считать независимой переменной, выразится по формуле (5). Перейдем теперь к независимой переменной в этом предположении имеем другое выражение для дифференциала:

Заменяя, однако, производную ее выражением (7) и замечая, что есть дифференциал х как функции от t, окончательно получим:

т. е. вернемся к прежней форме дифференциала!

Таким образом, мы видим, что форма дифференциала может быть сохранена даже в том случае, если прежняя независимая переменная заменена новой. Мы всегда имеем право писать дифференциал у в форме (5), будет ли х независимой переменной или нет; разница лишь в том, что, если за независимую переменную выбрано t, то означает не произвольное приращение а дифференциал х как функции от Это свойство и называют инвариантностью формы дифференциала.

Так как из формулы (5) непосредственно получается формула (6), выражающая производную через дифференциалы то и последняя формула сохраняет силу, по какой бы независимой переменной (конечно, одной и той же в обоих случаях) ни были вычислены названные дифференциалы.

Пусть, например, так что

Положим теперь Тогда и мы будем иметь: Легко проверить, что формула

дает лишь другое выражение для вычисленной выше производной.

Этим обстоятельством особенно удобно пользоваться в случаях, когда зависимость у от х не задана непосредственно, а вместо этого задана зависимость обеих переменных х и у от некоторой третьей, вспомогательной, переменной (называемой параметром):

Предполагая, что обе эти функции имеют производные и что для первой из них существует обратная функция имеющая производную [83, 94], легко видеть, что тогда и у оказывается функцией от х:

для которой также существует производная. Вычисление этой производной может быть выполнено по указанному выше правилу:

не восстанавливая непосредственной зависимости у от х.

Например, если производную можно определить, как это сделано выше, не пользуясь вовсе зависимостью .

Если рассматривать х и у как прямоугольные координаты точки на плоскости, то уравнения (8) каждому значению параметра t ставят в соответствие некоторую точку, которая с изменением t описывает кривую на плоскости. Уравнения (8) называются параметрическими уравнениями этой кривой.

В случае параметрического задания кривой, формула (10) позволяет непосредственно по уравнениям (8) установить угловой коэффициент касательной, не переходя к заданию кривой уравнением (9); именно,

Замечание. Возмохсность выражать производную через дифференциалы, взятые по любой переменной, в частности, приводит к тому, что формулы

выражающие в лейбницевых обозначениях правила дифференцирования обратной функции и сложной функции, становятся простыми алгебраическими тождествами (поскольку все дифференциалы здесь могут быть взяты по одной и той же переменной). Не следует думать, впрочем, что этим дан новый вывод названных формул: прежде всего, здесь не доказывалось существование производных слева, главное же - мы существенно пользовались инвариантностью формы дифференциала, которая сама есть следствие правила V.