41. Лемма Больцано — Вейерштрасса

(В. Bolzano - С. Weierstrass). Из любой ограниченной последовательности (1) всегда можно извлечь такую частичную последовательность (4), которая сходилась бы к конечному пределу.

(Эта формулировка не исключает возможности и равных чисел в составе данной последовательности, что удобно в приложениях.)

Доказательство. Пусть все числа заключены между границами а и Разделим этот промежуток пополам, тогда хоть в одной половине будет содержаться бесконечное множество элементов данной последовательности, ибо, в противном случае, и во всем промежутке этих элементов содержалось бы конечное число, что невозможно. Итак, пусть будет та из половин, которая содержит бесконечное множество чисел (или, если обе половины таковы, то - любая из них).

Аналогично, из промежутка выделим его половину

- при условии, чтобы в ней содержалось бесконечное множество чисел Продолжая этот процесс до бесконечности, на стадии его выделим промежуток также содержащий бесконечное множество чисел

Каждый из построенных промежутков (начиная со второго) содержится в предыдущем, составляя его половину. Кроме того, длина промежутка, равная

стремится к нулю с возрастанием к. Применяя сюда лемму о вложенных промежутках [38], заключаем, что стремятся к общему пределу с.

Теперь построение частичной последовательности произведем индуктивно - следующим образом. В качестве возьмем любой (например, первый) из элементов нашей последовательности, содержащихся в . В качестве возьмем любой (например, первый) из элементов следующих за и содержащихся в . Вообще, в качестве возьмем любой (например, первый) из элементов следующих за ранее выделенными и содержащихся в Возможность такого выбора, производимого последовательно, обусловливается именно тем, что каждый из промежутков содержит бесконечное множество чисел т. е. содержит элементы со сколь угодно большими номерами.

Далее, так как

то, по теореме 3°, 28, и , ч. и тр. д.

Метод, примененный при доказательстве этой леммы и состоящий в последовательном делении пополам рассматриваемых промежутков, известен под именем метода Больцано; он часто будет нам полезен и в других случаях.

Лемма Больцано-Вейерштрасса значительно облегчает доказательство многих трудных теорем, как бы вбирая в себя основную трудность рассуждения. Для примера докажем снова с ее помощью принцип сходимости, мы имеем в виду достаточность содержащегося в нем условия, которая потребовала от нас в 39 значительных усилий.

Итак, пусть условие выполнено, и по заданному найден такой номер что для имеют место неравенства (2) или (3) Если при этом фиксировать, то из (3) ясно, что варианта всяком случае, будет ограниченной: ее значения для содержатс: между числами и нетрудно эти границы раздвинут так, чтобы охватить и первые значений:

Тогда, по только что доказанной теореме, можно выделить частную последовательность сходящуюся к конечному пределу

Покажем, что к этому пределу стремится вообще и варианта Можно выбрать к настолько большим, чтобы было

и, одновременно, Следовательно, в (2) можно взять

и, сопоставляя оба эти неравенства, окончательно находим

что и доказывает наше утверждение.