§ 2. Непрерывные функции

169. Непрерывность и разрывы функций нескольких переменных.

Пусть функция определена в некотором множестве точек -мерного пространства, и есть точка сгущения этого множества, принадлежащая самому множеству.

Говорят, что функция непрерывна в точке если имеет место равенство

в противном же случае - функция терпит разрыв в точке М.

На языке непрерывность функции в точке М выразится так [165]: по любому заданному должно найтись такое что

лишь только

или иначе: по должно найтись такое что

лишь только расстояние

При этом точка предполагается принадлежащей множеству в частности же, может совпасть и с точкой М. Именно ввиду того, что предел функции в точке М равен значению функции в этой точке, обычное требование, чтобы М была отлична от здесь становится ненужным.

Рассматривая разности как приращения независимых переменных, а разность

- как приращение функции, можно сказать (как в случае функций одной переменной), что функция непрерывна, если бесконечно малым приращениям независимых переменных отвечает бесконечно малое же приращение функции.

Определенная выше непрерывность функции в точке М есть, так сказать, непрерывность по всей совокупности переменных Если она имеет место, то одновременно и

и т. п., ибо здесь мы осуществляем лишь частные законы приближения М к М. Иными словами, функция оказывается непрерывной в отдельности по каждой переменной по каждой паре переменных

С примерами непрерывных функций мы уже сталкивались. Так, в 166, 1) была установлена непрерывность целой и дробной рациональной функций от аргументов во всех точках -мерного пространства (для дробной функции - за исключением тех точек, которые обращают ее знаменатель в 0). Там же, в 2), была доказана непрерывность степенно-показательной функции ху для всех точек правой полуплоскости

Если вновь рассмотреть функцию

определенную этой формулой во всей плоскости, кроме начальной точки, и положить дополнительно: то получим пример разрыва. Он имеет место именно в начальной точке, так как [167, 4)] при для функции предела не существует.

Здесь мы сталкиваемся с таким интересным обстоятельством. Рассмотренная функция хотя и не является непрерывной в точке (0, 0) по обеим переменным зараз, тем не менее будет непрерывна в этой точке как по х, так и по у в отдельности; это следует из того, что Впрочем, сказанное перестает быть удивительным, если сообразить, что, говоря о непрерывности по х и по у в отдельности, мы учитываем лишь приближение к точке (0, 0) вдоль по оси х или по оси у, оставляя в стороне бесчисленное множество других законов приближения.

Если для функции при стремлении М к М вовсе не существует определенного конечного предела

то говорят, что в точке М функция имеет разрыв, даже в том случае, когда в самой точке М функция не определена [ср. замечание в 66].

Точки разрыва функции могут быть не только изолированными, как в предыдущем примере, но и заполнять собою линии, поверхности и т. п. Так, функции двух переменных

имеют разрывы: первая - вдоль прямых а вторая - вдоль окружности Для функций трех переменных

разрывы заполняют в первом случае гиперболический параболоид а во втором - конус