94. Производная обратной функции.

Прежде чем заняться вычислением производных от обратных тригонометрических функций, докажем следующую общую теорему.

Теорема. Пусть 1) функция удовлетворяет условиям теоремы п° 83 о существовании обратной функции, 2) в точке имеет конечную и отличную от нуля производную Тогда для обратной функции в соответствующей точке также существует производная, равная

Доказательство. Придадим значению произвольное приращение тогда соответственное приращение получит и функция Заметим, что при , ввиду однозначности самой функции Имеем

Если теперь по любому закону, то - в силу непрерывности функции - и приращение Но тогда знаменатель правой части написанного равенства стремится к пределу следовательно, существует предел для левой части, равный обратной величине он и представляет собой производную

Итак, имеем простую формулу:

Легко выяснять ее геометрический смысл. Мы знаем, что производная есть тангенс угла а, образованного касательной к графику функции с осью х. Но обратная функция имеет тот же график, лишь независимая переменная для нее откладывается по оси у. Поэтому производная ху равна тангенсу угла р, составленного той же касательной с осыо у (рис. 39).

Рис. 39.

Таким образом, выведенная формула сводится к известному соотношению

связывающему тангенсы двух углов а и сумма которых равна

Положим для примера

Обратной для нее функцией будет Так как (см. 6°) то, по нашей формуле,

в согласии с 7°.

Переходя теперь к вычислению производных от обратных тригонометрических функций, мы для удобства обменяем ролями переменные х и у, переписав доказанную формулу в виде

9° Обратные тригонометрические функции. Рассмотрим функцию причем . Она является обратной для функции имеющей для указанных значений у положительную производную . В таком случае существует также производная и равна, по нашей формуле,

корень мы берем со знаком плюс, так как

Мы исключили значения ибо для соответствующих значений производная

Функция служйт обратной для функции . По нашей формуле

Аналогично можно получить: