Легко выяснять ее геометрический смысл. Мы знаем, что производная
есть тангенс угла а, образованного касательной к графику функции
с осью х. Но обратная функция
имеет тот же график, лишь независимая переменная для нее откладывается по оси у. Поэтому производная ху равна тангенсу угла р, составленного той же касательной с осыо у (рис. 39).
Рис. 39.
Таким образом, выведенная формула сводится к известному соотношению
связывающему тангенсы двух углов а и
сумма которых равна
Положим для примера
Обратной для нее функцией будет
Так как (см. 6°)
то, по нашей формуле,
в согласии с 7°.
Переходя теперь к вычислению производных от обратных тригонометрических функций, мы для удобства обменяем ролями переменные х и у, переписав доказанную формулу в виде
9° Обратные тригонометрические функции. Рассмотрим функцию
причем
. Она является обратной для функции
имеющей для указанных значений у положительную производную
. В таком случае существует также производная
и равна, по нашей формуле,
корень мы берем со знаком плюс, так как
Мы исключили значения
ибо для соответствующих значений
производная
Функция
служйт обратной для функции
. По нашей формуле
Аналогично можно получить: