56. Примеры.
1) Обобщая примеры 1) и 2), 32, исследуем поведение многочлена
а затем - и частного двух таких многочленов
при 
Путем преобразования
легко установить, что
причем знак предела при к четном определяется лишь знаком 
а при к нечетном - зависит еще и от знака х.
2) Аналогично находим, что
в зависимости от того, будет ли 
или 
Знак предела (в первом случае) устанавливается по знакам 
а также (при 
нечетном) - по знаку х.
3) Докажем для любого положительного рационального показателя 
формулу
Начнем с простейшего случая, когда показатель есть натуральное число: 
По биному Ньютона
так как при 
все члены в последней сумме, кроме первого, стремятся к 0, то, действительно, имеем
Пусть теперь 
(где 
— натуральное), и рассмотрим выражение 
Положим X
Так как (считая 
так что, вместе с 
. А тогда, по предыдущему случаю,
Наконец, общий случай 
исчерпывается введением той же вспомогательной переменной у:
откуда 
4) Найти предел
С помощью той же подстановки 
преобразуем рассматриваемое выражение к виду
откуда сразу ясно, что искомый предел равен - 
5) Предел [54, 7)]
часто используется для нахождения других пределов.
Очевидно,
так как выражение в скобках стремится к 1, то общий предел и будет — 
И здесь преобразование легко приводит к уже изученным пределам:
Заметим, что 
при 
как это вытекает, например, из предыдущего результата (а).
Здесь удобнее перейти к переменкой 
очевидно 
Имеем
