176. Новые доказательства основных теорем.
1° 1-я теорема Вейерштрасса. Функция 
предположена непрерывной в ограниченной замкнутой области 
Следовательно, каждую точку
этой области можно окружить такой окрестностью а, что в ее пределах (если через 
обозначено наперед взятое число)
или
Таким образом, в области 
функция оказывается ограниченной.
Применяя лемму Бореля к системе 
этих окрестностей, можно выделить из конечное число окрестностей, 
которые в совокупности покрывают всю область 
. Если
то, взяв в качестве 
наименьшее из 
, а в качестве М - наибольшее из 
будем иметь в 
2° Теорема Кантора. Задавшись произвольным числом 
каждую точку 
окружим такой окрестностью
что для любой принадлежащей ей точки 
будет
Если 
есть другая подобная же точка, так что и
то в результате
Заменим каждый прямоугольник а вчетверо меньшим прямоугольником, с тем же центром,
Система 
этих открытых прямоугольников покрывает область 
. По лемме Бореля, из нее выделяем конечную систему прямоугольников
с тем же свойством. Наконец, обозначим через 8 наименьшее из всех чисел 
Пусть 
- любые две точки области 
для которых
Точка 
принадлежит одной из окрестностей 
например, окрестности
так что
Из (10), так как 
следует, что 
Отсюда
и точки 
обе оказываются лежащими в одной из первоначально определенных окрестностей
а тогда, по доказанному, для них выполняется (9).
Итак, удалось по 
выбрать 
независимо от положения точки 
чем и доказано, что функция 
равномерно непрерывна.
