§ 3. Основные теоремы дифференциального исчисления

109. Теорема Ферма.

Знание производной некоторой функции часто позволяет делать заключение и о поведении самой функции Вопросам этого рода и будут, в сущности, посвящены настоящий параграф и следующие за ним.

Предварительно докажем простую лемму:

Лемма. Пусть функция имеет конечную производную в точке Если эта производная то для значений х, достаточно близких к справа, будет а для значений х, достаточно близких к слева, будет

Иными словами этот факт выражают так: функция в точке возрастает (убывает). Если имеется в виду односторонняя производная, например, справа, то сохраняет силу лишь утверждение о значениях х, лежащих справа от

Доказательство. По определению производной,

Если (ограничимся этим случаем), то, в силу 55, 2°, найдется такая окрестность точки в которой (при

Пусть сначала так что из предыдущего неравенства следует тогда, что Если же то, очевидно, и Лемма доказана.

Теорема Ферма. (P. Fermat) Пусть функция определена в некотором промежутке X и во внутренней точке с этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если существует двусторонняя конечная производная в этой точке, то необходимо

Доказательство. Пусть для определенности принимает наибольшее значение в точке с. Предположение, что

приводит к противоречию: либо и тогда (по лемме) если достаточно близко к с, либо и тогда если с и достаточно близко к с. В обоих случаях не может быть наибольшим значением функции в промежутке Полученное противоречие и доказывает теорему.

Вспомним [91, 92] геометрическое истолкование производной как углового коэффициента касательной к кривой Обращение в нуль производной геометрически означает, что в соответствующей точке этой кривой касательная параллельна оси х. Рис. 48 делает это обстоятельство совершенно наглядным.

Рис. 48.

Рис. 49.

В доказательстве существенно было использовано предположение, что с является внутренней точкой промежутка, так как нам пришлось рассматривать и точки х справа от с, и точки х слева от с. Без этого предположения теорема перестала бы быть верной: если функция определена в замкнутом промежутке и достигает своего наибольшего (наименьшего) значения на одном из концов этого промежутка, то производная на этом конце (если существует) может и не быть нулем. Предоставляем читателю подыскать соответствующий пример; геометрически этот факт иллюстрируется рисунком 49.

В качестве приложения теоремы Ферма докажем одну любопытную теорему о производной функции.