136. Примеры.

1) Найти экстремумы функции Её производная всегда существует и конечна:

Корнями производной (стационарными точками) будут:

Этими значениями весь промежуток разбивается на Следующие части:

Для определения знака производной в этих промежутках можно, воспользовавшись сделанным выше замечанием, установить его для конкретных значений, например, для —3, — 1,0 и 2. Определяя знаки отдельных множителей, для всей производной получаем следующие знаки:

Отсюда ясно, что при функция имеет максимум, при она имеет минимум, а при экстремума вовсе нет.

Однако, обычно поступают иначе, не подставляя в производную конкретных значений. Начнём с Произведение двух последних множителей производной при имеет знак минус, следовательно (по непрерывности) сохраняет тот же знак и вблизи этой точки (как слева, так и справа). Множитель же когда х, возрастая, проходит через значение — 2, меняет знак минус на плюс, так что производная меняет знак плюс на минус, и функция имеет максимум. При (и вблизи этого значения) первые два множителя производной имеют знак плюс; последний же множитель (а с ним и вся производная) при прохождении через это значение меняет знак минус на плюс; функция здесь имеет минимум. Наконец, при переходе через значение не только первый и третий множитель сохраняют знак, но и второй множитель также, ибо квадрат всегда положителен; экстремума здесь нет.

Зная точки доставляющие нашей функции экстремальные значения, легко вычислить теперь и сами эти значения: максимум и минимум

На черт. 57 дан график, иллюстрирующий Изменение этой функции

2) Найти экстремумы функции

Ввиду того, что функция имеет период достаточно ограничиться теми значениями х, которые содержатся в промежутке Производная этой функции существует везде:

Корни производной (стационарные точки) в этом случае будут:

При переходе через множитель меняет знак минус на плюс, а вся производная меняет знак плюс на минус, ибо последние два множителя сохраняют вблизи знак минус; налицо максимум. Множитель обращающийся в нуль при при переходе через эту точку меняет знак минус на плюс. То же будет и с производной, так как первые два множителя положительны; следовательно, здесь будет минимум. Аналогично исследуются и остальные стационарные точки: все они поочерёдно доставляют функции максимумы и минимумы.

Подставляя их в выражение функции, получим сами максимальные и минимальные значения:

Черт. 57.

Черт. 58.

График функции представлен на черт. 58 [ср. 147, 1)].

3) Найти экстремумы функции

На этот раз конечная производная

существует везде, исключая точки

При приближении х к этим значениям (с обеих сторон) производная стремится к

Для определения корней производной, приравниваем нулю ее числитель; мы найдем Итак, «подозрительными» по экстремуму будут точки:

При вблизи этой точки) числитель и второй множитель знаменателя имеют знак плюс. Множитель же знаменателя меняет знак минус на плюс, производная - тоже: минимум. При и (вблизи) знаменатель сохраняет знак плюс. Числитель же, имея в виду значения х, близкие к перепишем так: он обращается в нуль при уменьшением - увеличивается, а с увеличением - уменьшается, так что меняет знак плюс на минус, и налицо максимум. То же и при При переходе через множитель в знаменателе, который обращается в этой точке в нуль, не меняет знака; это же справедливо и для производной, так что при 1 экстремума нет. То же и при

Рис. 59.

Итак, максимумы а минимум

График на рис. 59 [ср. 149, 4)].

4) Затухающие колебания. Пусть движение точки происходит по следующему закону:

где - пройденный путь (отсчитываемый от начального положения), время (отсчитываемое от начального момента). Будем считать все постоянные , а также переменную t - положительными. Выясним вид графика этой зависимости; его интересно сопоставить с уже знакомой нам синусоидой Так как то, очевидно, оба графика пересекают ось х в одних и тех же точках Заметим, что функция имеет попеременно максимумы и минимумы в точках где обращается в нуль ее производная Составим производную для заданной функции [ср. 99, 30)]:

Вводя вспомогательный угол под условиями:

перепишем выражение производной в виде

Она обращается в нуль в точках

и так как косинус, проходя через нуль, меняет знак, то легко сообразить, что при этих значениях наша функция, действительно, имеет максимумы при четных и минимумы при нечетных. По сравнению с синусоидой, произошло смещение экстремальных точек влево на

Нетрудно проверить, что все максимумы будут положительны, а минимумы отрицательны. Если величину экстремума обозначить через то

так что размахи убывают в геометрической прогрессии.

График (для простого частного случая) представлен на рис. 60. Движение подобного типа носит название затухающего колебания.

Замечание. В большинстве представляющихся на практике случаев изложенного в предыдущем п° правила оказывается вполне достаточно для исследования «подозрительных» значений. Однако следует дать себе отчет в том, что могут быть случаи, где оно неприложимо: это будет тогда, когда в любой близости от испытуемой точки содержится бесконечное множество других подобных же точек, и производная не сохраняет определенного знака с той или с другой стороны от этой точки.

Рассмотрим для примера функцию, определяемую равенствами:

Мы уже знаем, что она при имеет производную Однако в любой близости от стационарной точки как слева, так и справа производная

бесконечное множество раз меняет знак. Здесь в точке нет экстремума.

Рис. 60.

Если же определить функцию так:

то она обнаруживает такую же особенность, но на этот раз при очевидно будет минимум. Правило в обоих случаях неприложимо.