175. Лемма Бореля.

Полезное предложение, доказанное в 88 может быть обобщено на многомерный случай.

Пусть имеем систему 2 открытых областей а на плоскости; если каждая точка множества содержится хоть в одной из этих областей а, то будем говорить, что система 2 покрывает множество

Лемма Бореля. Если ограниченное замкнутое множество точек плоскости покрывается бесконечной системой открытых областей, то из нее всегда можно выделить конечную подсистему

которая также покрывает все множество

Доказательство (от противного). Допустим, что множество не может быть покрыто конечным числом областей а из

Ввиду ограниченности множества , оно содержится в некотором прямоугольнике Разделив каждый из двух промежутков пополам, мы разложим этот прямоугольник, как и при доказательстве леммы Больцано - Вейерштрасса [172], на четыре прямоугольника. Вместе с тем и множество разложится на части, содержащиеся соответственно в этих частичных прямоугольниках; частей, впрочем, может оказаться и меньше четырех, если какой-либо прямоугольник не содержит вовсе точек множества Хоть одна из этих частей (скажем, в свою очередь, не может быть покрыта конечным числом областей а (ибо в противном случае все множество вопреки предположению, было бы покрыто конечным числом областей а). Тот из частичных прямоугольников, который содержит именно часть множества , обозначим через

Этот прямоугольник снова разложим на четыре прямоугольника. Хотя бы один из них - обозначим его через содержит часть множества которая не может быть покрыта конечным числом областей а.

Продолжая этот процесс до бесконечности, на стадии его мы придем к прямоугольнику содержащему такую часть множества которая не может быть покрыта конечным числом областей а.

Как и в 172, мы заключим отсюда, что прямоугольники «стягиваются» в точку (х, у), так что

Эта точка принадлежит множеству Действительно, какую бы окрестность точки М ни взять, для достаточно больших к будет

так что в упомянутую окрестность попадает часть множества (по самому выбору ее, наверное содержащая бесконечное множество точек). Следовательно, точка М является точкой сгущения для множества и должна ему принадлежать, ввиду его замкнутости.

В таком случае, точка М содержится в одной из областей а, скажем, в

Так как есть открытая область, то в нее входит и некоторая окрестность

этой точки. Как и только что, легко показать, что в эту окрестность целиком попадет, при достаточно большом к, прямоугольник ним - и содержащаяся в нем часть множества Таким образом, все множество покрывается одной областью между тем как выбирали его мы так, чтобы оно не могло быть покрыто никаким конечным числом областей а. Полученное противоречие и доказывает лемму.

В тех применениях леммы Бореля, которые читатель найдет в следующем п° и в других частях курса, в качестве множества будет фигурировать обыкновенно замкнутая область. Но иной раз придется применять ее и к другим замкнутым множествам, например, к непрерывной кривой.