127. Приближенные формулы.

Положим, для простоты, в формуле а вместо с станем писать где :

Если отбросить здесь дополнительный член, то получится приближенная формула:

заменяющая функцию сложной природы целым многочленом. Но на этот раз мы в состоянии оценить погрешность этой формулы, ибо она как раз и равна (по абсолютной величине) отброшенному члену. Например, если производная (по крайней мере, при изменении аргумента между ограничена по абсолютной величине числом М, то

Для примеров обратимся к элементарным функциям. Нам нет надобности повторять выкладки п° 125, лишь дополнительный член мы будем писать в новой форме.

1) Положим Приближенная формула:

так как дополнительный член здесь

то, например, при погрешность оценивается так:

В частности, если

Подобной формулой мы уже пользовались в 37 для приближенного вычисления числа но оценка дополнительного члена, полученная другим путем, там была более точной.

2) Взяв получим

В этом случае дополнительный член:

и погрешность оценивается легко:

В частности, если мы довольствуемся одним членом и полагаем

то для того, чтобы погрешность была меньше, скажем, чем 0,001, достаточно взять (считая

или

что примерно равно 10°. При пользовании двучленной формулой

для достижения той же точности уже достаточно взять

или

если же ограничиться углами то погрешность будет даже

Мы видим, что с увеличением числа членов многочлена Тейлора он с все большей точностью и на большем протяжении воспроизводит исходную функцию. Этот факт наглядно иллюстрируется рис. 52 а, где наряду с графиком функции представлены графики многочленов

3) Аналогично, для имеем

причем

так что

Например, для формулы

погрешность

и наверное будет, скажем, для На рис. 526 представлены для сравнения графики функции и графики последовательных, многочленов

Мы обращаем внимание читателя на существенное продвижение вперед по сравнению с формулами пп° 62, 63, 107: теперь мы умеем устанавливать границы погрешности и располагаем формулами любой точности.

Рис. 52.

Укажем еще, что формула Тейлора является источником для построения приближенных формул совершенно иного типа.

4) В качестве первого примера остановимся на формуле Гюйгенса (Ch. Huygens) для приближенного спрямления дуги окружности, малой по сравнению с радиусом.

Пусть s - длина дуги, - соответствующая ей хорда, хорда, соответствующая половине дуги (рис. 53 а). Поставим себе задачей представить s возможно точнее приближенной формулой вида , где А, В - коэффициенты, подлежащие определению.

Рис. 53.

Если - радиус окружности, а - центральный угол, соответствующий дуге то имеем

и, аналогично, заменяя х на

Отсюда

в то время как Естественно выбрать так, чтобы было

ибо тогда разница между левой и правой частями рассматриваемой формулы будет лишь в членах, содержащих Для коэффициентов получаем значения и формула принимает вид

Ее погрешность А, как легко видеть, оценивается так:

Например, при центральном угле в 30°, т. е. имеем, согласно этой оценке, в действительности а по формуле Гюйгенса получается так что расхождение не превосходит установленной границы.

5) Для той же цели П. Л. Чебышев дал следующее правило: дуга приближенно равна сумме равных сторон равнобедренного треугольника, построенного на хорде и имеющего высотой — стрелки (рис. 536).

Положим пока ниже выяснится, что, полагая мы действительно получаем - в некотором смысле - наилучшее приближение.

Как мы видели только что,

аналогично,

Обозначая через s сумму сторон равнобедренного треугольника, о которой упоминается в правиле Чебышёва, имеем

Теперь, именно для того, чтобы уничтожить под корнем член с положим его коэффициент равным 0, откуда и находим

Для оценки погрешности перепишем выражение для s в виде

причем выражение А окажется содержащим вторую и четвертую степени х. Предполагая будем иметь: а тогда для А получится оценка

Обозначив для удобства через у, по формуле конечных приращений [112] будем иметь

Последняя дробь оценивается так:

Сопоставляя выражение (15) для s с только что полученными результатами видим, что

Порядок погрешности тот же, что и в формуле Гюйгенса.

Мы вернемся к формуле Тейлора с дополнительным членом в главе XI второго тома, посвященной бесконечным рядам; там эта формула будет играть весьма важную роль.