127. Приближенные формулы.
Положим, для простоты, в формуле
а вместо с станем писать
где
:
Если отбросить здесь дополнительный член, то получится приближенная формула:
заменяющая функцию сложной природы целым многочленом. Но на этот раз мы в состоянии оценить погрешность этой формулы, ибо она как раз и равна (по абсолютной величине) отброшенному члену. Например, если
производная (по крайней мере, при изменении аргумента между
ограничена по абсолютной величине числом М, то
Для примеров обратимся к элементарным функциям. Нам нет надобности повторять выкладки п° 125, лишь дополнительный член мы будем писать в новой форме.
1) Положим
Приближенная формула:
так как дополнительный член здесь
то, например, при
погрешность оценивается так:
В частности, если
Подобной формулой мы уже пользовались в 37 для приближенного вычисления числа
но оценка дополнительного члена, полученная другим путем, там была более точной.
2) Взяв
получим
В этом случае дополнительный член:
и погрешность оценивается легко:
В частности, если мы довольствуемся одним членом и полагаем
то для того, чтобы погрешность была меньше, скажем, чем 0,001, достаточно взять (считая
или
что примерно равно 10°. При пользовании двучленной формулой
для достижения той же точности уже достаточно взять
или
если же ограничиться углами
то погрешность будет даже
Мы видим, что с увеличением числа членов многочлена Тейлора он с все большей точностью и на большем протяжении воспроизводит исходную функцию. Этот факт наглядно иллюстрируется рис. 52 а, где наряду с графиком функции
представлены графики многочленов
3) Аналогично, для
имеем
причем
так что
Например, для формулы
погрешность
и наверное будет, скажем,
для
На рис. 526 представлены для сравнения графики функции
и графики последовательных, многочленов
Мы обращаем внимание читателя на существенное продвижение вперед по сравнению с формулами пп° 62, 63, 107: теперь мы умеем устанавливать границы погрешности и располагаем формулами любой точности.
Рис. 52.
Укажем еще, что формула Тейлора является источником для построения приближенных формул совершенно иного типа.
4) В качестве первого примера остановимся на формуле Гюйгенса (Ch. Huygens) для приближенного спрямления дуги окружности, малой по сравнению с радиусом.
Пусть s - длина дуги,
- соответствующая ей хорда,
хорда, соответствующая половине дуги (рис. 53 а). Поставим себе задачей представить s возможно точнее приближенной формулой вида
, где А, В - коэффициенты, подлежащие определению.
Рис. 53.
Если
- радиус окружности, а
- центральный угол, соответствующий дуге
то имеем
и, аналогично, заменяя х на
Отсюда
в то время как
Естественно выбрать
так, чтобы было
ибо тогда разница между левой и правой частями рассматриваемой формулы будет лишь в членах, содержащих
Для коэффициентов
получаем значения
и формула принимает вид
Ее погрешность А, как легко видеть, оценивается так:
Например, при центральном угле в 30°, т. е.
имеем, согласно этой оценке,
в действительности
а по формуле Гюйгенса получается
так что расхождение не превосходит установленной границы.
5) Для той же цели П. Л. Чебышев дал следующее правило: дуга приближенно равна сумме равных сторон равнобедренного треугольника, построенного на хорде и имеющего высотой
— стрелки (рис. 536).
Положим пока
ниже выяснится, что, полагая
мы действительно получаем - в некотором смысле - наилучшее приближение.
Как мы видели только что,
аналогично,
Обозначая через s сумму сторон равнобедренного треугольника, о которой упоминается в правиле Чебышёва, имеем
Теперь, именно для того, чтобы уничтожить под корнем член с
положим его коэффициент равным 0, откуда и находим
Для оценки погрешности перепишем выражение для s в виде
причем выражение А окажется содержащим вторую и четвертую степени х. Предполагая
будем иметь:
а тогда для А получится оценка
Обозначив для удобства
через у, по формуле конечных приращений [112] будем иметь
Последняя дробь оценивается так:
Сопоставляя выражение (15) для s с только что полученными результатами видим, что
Порядок погрешности тот же, что и в формуле Гюйгенса.
Мы вернемся к формуле Тейлора с дополнительным членом в главе XI второго тома, посвященной бесконечным рядам; там эта формула будет играть весьма важную роль.