214. Примеры и задачи.
1) Пусть требуется найти экстремум функции 
при условии 
область изменения переменных определяется неравенствами 
Мы уже решали эту задачу в 200, 4) фактически выражая t из последнего условия. Теперь, дифференцируя это равенство полным образом, найдем
Исключая 
из равенства 
придем к результату
который, ввиду произвольности 
распадается на три:
так что 
Применяя к той же задаче метод Лагранжа, введем вспомогательную функцию
и составим условия:
откуда
Для того чтобы воспользоваться результатом предыдущего п°, вычислим 
рассмотрим функцию
Ее второй дифференциал (в точке 
) будет
Дифференцируя уравнения связи (все в той же точке), получим
Если определить отсюда 
и подставить в предыдущее выражение, то окончательно найдем
Так как эта форма, очевидно, определенная и положительная, то в найденной точке будет относительный минимум.
[Отсюда, однако, нельзя сделать заключение, что этот минимум будет и наименьшим значением функции 
при указанной связи между значениями ее аргументов; ср. 200, 4)].
2) Станем вновь [ср. 200, 2)] искать наименьшее и наибольшее значения функции
при наличии связи:
т. е. на сферической поверхности, выраженной этим уравнением.
С этой целью, сначала найдем по методу Лагранжа все относительны экстремумы функции. Вспомогательная функция
приводит к условиям:
к которым надлежит присоединить еще уравнение связи. Отсюда
Выбирая из указанных в скобках значений и наименьшее и наибольшее, мы и придем к решению задачи [ср. 200, 2)].
3) Вернемся к задаче о наивыгоднейших сечениях проводов в электрической сети с параллельным включением [201, 8)]. Сохраняя принятые там обозначения, будем искать экстремум функции
при условии, что
при этом мы не станем даже вводить, взамен 
другие переменные, как сделали это выше, ибо нашими новыми методами задача и так решается просто.
Итак, дифференцируя полным образом уравнение 
получим затем следующее выражение для дифференциала 
Подставляя его в равенство 
придем к результату:
Так как 
уже произвольны, то коэффициенты при них порознь нули, откуда
и
Множитель пропорциональности 
легко определить из уравнения связи:
Если применить метод Лагранжа, то нужно построить вспомогательную функцию
и приравнять нулю ее производные:
откуда снова получаем (12), и т. д.
4) В качестве более сложного примера рассмотрим такую задачу: трехосный эллипсоид 
пересечен плоскостью 
проходящей через его центр; требуется определить полуоси получающегося в сечении эллипса. Иными словами, нужно найти экстремальные значения функции 
если переменные подчинены указанным выше двум уравнениям связи.
Метод исключения зависимых дифференциалов [211] здесь приводит к сложным выкладкам; поэтому мы сразу прибегнем к методу Лагранжа.
Для того чтобы убедиться, что ранг матрицы
равен 2 во всех точках пересечения эллипсоида с плоскостью, допустим противное. Из обращения в 0 всех определителей второго порядка следует пропорциональность элементов верхней и нижней строк; но тогда равенство 
влечет за собой 
что невозможно.
Составив вспомогательную функцию
приравняем нулю ее производные:
Умножая эти уравнения, соответственно, на х, у, z и складывая, получим (с учетом уравнений связи), что 
Если предположить, для определенности, что ни одно из чисел 
не равно нулю, то из (13) можно усмотреть, что 
не равно ни а, ни b, ни с. Тогда уравнения (13) перепишутся в виде:
Отсюда легко найти 
а с ним и х, у, z; но минуя это, можно, сложив эти равенства, предварительно умноженные на 
получить уравнение
откуда непосредственно и определяются интересующие нас два экстремальные значения 
Так как существование этих экстремальных значений наперед известно, то здесь, таким образом, получается полное решение вопроса.
5) Наконец, предложим себе найти наименьшее и наибольшее значения квадратичной формы
при условии
Составим функцию Лагранжа
Исключая 
из условий
придем к уравнению 
степени
относительно 
Если 
есть один из его корней, то системе (15) линейных уравнений можно удовлетворить значениями 
не сплошь равными нулю; умножив их на надлежащий множитель, можно добиться и выполнения условия (14). Однако определение этих значений не представляет для нас интереса, ибо, как увидим, вопрос о наименьшем и наибольшем значениях функции 
решается и без них.
Действительно, умножая равенства (15), соответственно, на 
и почленно складывая, придем к равенству
или, в силу (14),
Таким образом, если к удовлетворяет уравнению (16), то значение функции 
в соответствующей точке 
и равно самому к.
Мы приходим к изящному результату: искомое наименьшее и наибольшее значения функции 
, при соблюдении условия (14), совпадают с наименьшим и наибольшим из (вещественных) корней уравнения (16).
