249. Дуга в роли параметра. Положительное направление касательной.

Так как переменная дуга является непрерывной монотонно возрастающей функцией от параметра t, то и последний, в свою очередь, может быть рассматриваем как однозначная и непрерывная функция от где s изменяется от 0 до длины S всей рассматриваемой кривой [83]. Подставляя это выражение t в уравнения (1), мы получим текущие координаты х и у выраженными в функции от

Несомненно, дуга играющая роль «криволинейной абсциссы» точки М, является самым естественным параметром для определения ее положения.

Заметим, что начальная точка А для отсчета дуг может быть взята и не на одном из концов рассматриваемой дуги кривой; тогда, как это разъяснено выше, дуга s может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Пусть точка М кривой - в представлении (1) - будет обыкновенной, так что [см. (10)]

тогда [94] для соответствующего значения s (и вблизи него) существует и непрерывная производная

а следовательно, существуют и непрерывные производные

Из основной формулы (11), считая, что все дифференциалы взяты, например, по получим,

Таким образом, если точка М была обыкновенной в прежнем представлении (1) кривой, то она наверное будет обыкновенной и при переходе к параметру Формула (12), далее, позволяет установить следующее полезное утверждение:

Пусть М - обыкновенная точка кривой. Если через обозначить переменную точку той же кривой, то при стремлении

к М отношение длины хорды к длине дуги будет стремиться к единице:

Примем дугу за параметр, и пусть точка М отвечает значению s дуги, а точка - значению . Их координаты пусть будут, соответственно, Тогда

так что

Переходя справа к пределу при в силу (12), получаем требуемый результат.

До сих пор мы определяли положение касательной к кривой в (обыкновенной) точке М - ее угловым коэффициентом , не различая двух противоположных направлений на самой касательной: для обоих один и тот же. В некоторых исследованиях, однако, представляется необходимым фиксировать одно из этих направлений.

Рис. 153.

Представим себе, что на кривой выбраны начальная точка и определенное направление для отсчета дуг; возьмем именно дугу за параметр, определяющий положение точки на кривой.

Пусть точке М, о которой была речь, отвечает дуга Если придать s положительное приращение то дуга определит новую точку лежащую от сторону возрастания дуг. Секущую направим от М к и угол, составленный именно этим направлением секущей с положительным направлением оси х, обозначим через Проектируя отрезок на оси координат (рис. 153), по известной теореме из теории проекций, получим

откуда

Так как то эти равенства можно переписать так:

Будем называть положительным то направление касательной, которое идет в сторону возрастания дуг; точнее говоря, оно определяется как предельное положение при для луча направленного так, как это разъяснено выше. Если угол положительного направления касательной с положительным направлением оси обозначить через а, то из (14) получим в пределе, с учетом (13),

Эти формулы определяют угол а уже с точностью до (k - целое), следовательно, действительно фиксируют одно из двух возможных направлений касательной, именно - положительное.

Замечание. Все сказанное в пп° 245 - 249 по поводу плоских кривых переносится без существенных изменений на случай пространственной кривой:

Понятие длины кривой устанавливается в тех же терминах, что и в п° 247. При наличии у функций непрерывных производных - длина конечна, и кривая спрямляема. Длина переменной дуги (от начальной точки кривой до переменной точки, отвечающей параметру

дифференцируема по t, причем ее производная по t выражается формулой

Отсюда получается формула для дифференциала дуги:

В случае отсутствия особых точек [228], можно перейти к такому параметрическому представлению кривой, в котором роль параметра играет сама дуга Наконец, устанавливается понятие положительного направления касательной, направляющие косинусы которого даются формулами: