§ 4. Непрерывность (и разрывы) функций

66. Определение непрерывности функции в точке.

С понятием предела функции тесно связано другое важное понятие математического анализа - понятие непрерывности функции.

Рассмотрим функцию определенную в некоторой области для которой является точкой сгущения; при этом пусть сама точка принадлежит области определения функции, так что в этой точке функция имеет определенное значение

Когда устанавливалось понятие о пределе функции при стремлении [52, 53]

неоднократно подчеркивалось, что значения переменная х не принимает; это значение могло даже не принадлежать области определения функции, а если и принадлежало, то значение и образовании упомянутого предела не учитывалось.

Однако особую важность имеет именно случай, когда

Говорят, что функция непрерывна при значении (или в точке если выполняется это соотношение, если же оно нарушено, то говорят, что при этом значении (или в этой точке) функция имеет разрыв.

В случае непрерывности функции в точке (и, очевидно, только в этом случае), при вычислении предела функции при становится безразличным, будет ли х в своем стремлении к принимать, в частности, и значение или нет.

Определение непрерывности функции можно сформулировать в других терминах. Переход от значения к другому значению х можно себе представить так, что значению придано приращение

Новое значение функции разнится от старого на приращение

Для того чтобы функция была непрерывна в точке необходимо и достаточно, чтобы ее приращение в этой точке стремилось к О вместе с приращением независимой переменной. Иными словами: непрерывная функция характеризуется тем, что бесконечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое же приращение функции.

Возвращаясь к основному определению (1), раскроем его содержание «на языке Смысл непрерывности функции в точке сводится к следующему: каково бы ни было число для него найдется такое число , что неравенство

Последнее неравенство, таким образом, должно выполняться в достаточно малой окрестности точки

Наконец, «на языке последовательностей» непрерывность выразится так: какую бы последовательность значений х из X:

сходящуюся к ни взять, соответствующая последовательность значений функции

сходится к

Замечание. Пусть точка служащая точкой сгущения для области в которой определена функция сама области X не принадлежит, так что в этой точке функция не определена. Если, однако, существует конечный предел

то стоит лишь дополнить определение функции, положив равным этому пределу, чтобы функция оказалась непрерывной точке Это в подобных случаях мы обычно и будем впредь подразумевать.

Наоборот, если упомянутый предел не существует, то — несмотря на то, что в самой точке функция не определена — все же говорят, что функция в этой точке терпит разрыв: она будет иметь здесь разрыв, какое бы значение дополнительно ни приписать функции при

Обычно мы будем в дальнейшем рассматривать функции, определенные в промежутке X; все его точки являются его точками сгущения, так что по отношению к любой из них можно ставить вопрос о непрерывности. Для упрощения речи, уславливаются говорить, что функция непрерывна в промежутке если она непрерывна в каждой точке промежутка в отдельности.