241. Порядок касания двух кривых.

Рассмотрим две кривые, касающиеся в точке

Если кривые заданы явными уравнениями имеет абсциссу то совпадение ординат и угловых коэффициентов касательных может быть записано так:

Для характеристики близости рассматриваемых кривых в окрестности точки возьмем точки М и на этих кривых (рис. 148) с абсциссой х и установим порядок бесконечно малого отрезка

относительно основной бесконечно малой

Рис. 148.

Если этот порядок равен (или больше, чем то говорят, что кривые в точке имеют порядок касания (или выше, чем ).

Мы видели, что при наличии касания всегда

Пусть в точке для функций существуют производные всех порядков до включительно, причем

так что

О величине производных пока никаких предположений не делаем. Применяя к функции формулу Тейлора с дополнительным членом в форме Пеано [124 (10а)]:

видим, что

Таким образом, если то кривые имеют касание порядка, если же то порядок касания будет вьппе Отсюда (в предположении существования всех упоминаемых производных) следует:

Для того чтобы в точке с абсциссой кривые имели касание порядка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

[Если последнее неравенство не установлено, то можно лишь утверждать, что порядок касания не ниже ]

Для случая, когда порядок касания точно равен из (12) непосредственно вытекает, что при четном кривые, касаясь в точке взаимно пересекают одна другую, при же нечетном этого нет.

Замечание. В свете выведенных условий мы вернемся вновь к самому определению порядка касания. Это определение кажущимся образом связано с выбором координатной системы. На деле же порядок касания двух кривых от этого выбора не зависит (лишь бы только ось у не была параллельна общей касательной), так что установленное понятие является действительно геометрическим.

Если повернуть координатную систему на произвольный угол а, то новые координаты х, у выразятся через старые х, у с помощью известных формул преобразования:

Пусть в старой системе координат дана кривая если в предыдущих уравнениях под у разуметь именно эту функцию, то они дадут параметрическое представление кривой в новой системе, с х в роли параметра. Очевидно, производные

одновременно в 0 обратиться не могут, так что в новом представлении ни одна точка не будет особой, а тогда ясно, что первая из этих производных - не 0 в интересующей нас точке (ибо иначе касательная к кривой в этой точке была бы параллельна оси Следовательно, в ее окрестности кривая выразится и в новой системе явным уравнением

Теперь легко видеть, что

И вообще

где есть знак рациональной функции. Отсюда ясно, что как только для двух функций у от х выполняются равенства (13), то для двух соответствующих функций у от х выполняются аналогичные равенства. Точно так же - при наличии (13) - из неравенства (14) вытекает такое же неравенство для новых функций, ибо - в противном случае - обратное преобразование привело бы нас, взамен неравенства (14), тоже к равенству.

Этим и завершается доказательство высказанного утверждения.