144. Неравенство Иенсена и его приложения.

Согласно определению выпуклой функции [см. (1)], имеем

Можно доказать, что для выпуклой функции имеет место более общее неравенство (которое связывают с именем Иенсена):

каковы бы ни были значения из основного промежутка X. Для оно, как мы знаем, верно; допустив теперь, что оно верно для какого-либо натурального числа докажем, что оно верно и для т. е. что, взяв значений положительных чисел сумма которых равна единице, будем иметь

С этой целью, заменим слева сумму двух последних слагаемых одним слагаемым

это даст возможность воспользоваться неравенством (12) и установить, что выражение в (13) слева не превосходит суммы

Остается лишь применить к значению функции в последнем слагаемом основное неравенство (1), чтобы придти к (13). Таким образом - по методу математической индукции - неравенство (12) полностью оправдано.

Обычно, вместо множителей сумма которых равна единице, вводят произвольные положительные числа Полагая в неравенстве

приведем его к виду

В случае вогнутой функции очевидно, знак неравенства нужно изменить на обратный.

Выбирая различными способами функцию можно получать важные конкретные неравенства - и притом все из одного источника! Приведем примеры.

1) Пусть где (выпуклая функция). Имеем

или

Заменяя здесь на на придем к уже известному нам неравенству Коши - Гельдера

2) Полагая где (вогнутая функция), получим

Отсюда, потенцируя, придем тоже к уже встречавшемуся неравенству

3) Наконец, возьмем где (выпуклая функция). Тогда окажется, что

Умножая на и потенцируя, получим неравенство

В частности, положив здесь будем иметь

Если распространить понятие среднего гармонического на случай нескольких чисел, то неравенство это можно сформулировать так: среднее гармоническое ряда положительных чисел не превосходит их среднего геометрического.