26. Некоторые теоремы о варианте, имеющей предел.

Пусть варианта имеет предел а. При любом (или легко подобрать число так, чтобы было

для этого достаточно взять меньшим разности (или . Но, по определению предела [23], найдется такой номер что для будет выполняться неравенство [см. (4)]

а следовательно - и подавно неравенство

1° Если варианта стремится к пределу , то и все значения переменной, начиная с некоторого, тоже будут

Это простое предложение имеет ряд полезных следствий.

2° Если варианта стремится к пределу то и сама переменная начиная с некоторого места.

Для доказательства достаточно применить предыдущее утверждение, взяв

Можно установить и более точный результат:

3° Если варианта стремится к пределу а, отличному от нуля, то, по крайней мере, достаточно далекие значения по абсолютной величине превзойдут некоторое положительное число

Действительно, при а можно взять

и положить

4° С другой стороны, если варианта имеет предел а, то она является ограниченной, в том смысле, что все ее значения по абсолютной величине не превосходят некоторой конечной границы:

Возьмем число так что - и положим Найдется такой номер что для будет

Это неравенство наверное вьшолняется при так что ему могут и удовлетворять лишь первые значений нашей варианты (или некоторые из них).

Поэтому, если положить М равным наибольшему из чисел

то уже для всех значений будем иметь:

Замечания. I. Можно дать определение ограниченности переменной в равносильной форме, потребовав выполнения неравенств

где к и - два конечных числа. Действительно, из этих неравенств, если положить М равным наибольшему из чисел следует обратно, если имеет место последнее неравенство, то оно может быть написано в форме так что -М играет роль роль

II. Утверждение 4° не может быть обращено: не всякая ограниченная варианта имеет предел. Если положить, например, то эта варианта, конечно, ограничена: но предела она не имеет, все время колеблясь от

В заключение, опираясь на предложение 1°, докажем единственность предела:

5° Варианта не может одновременно стремиться к двум различным пределам.

Действительно, допустим противное: пусть одновременно причем а Возьмем любое число между а и b

Поскольку найдется такой номер что для будет выполняться неравенство: С другой стороны, раз найдется и такой номер что для окажется: Если взять номер большим и то соответствующее значение переменной будет одновременно и что невозможно.

Это противоречие доказывает наше утверждение.