180. Геометрическая интерпретация для случая функции двух переменных.

Желая дать геометрическое истолкование сказанному выше, аналогичное геометрическому истолкованию производной и дифференциала функции одной переменной [91, 104], вернемся к понятию касательной к кривой в данной на ней точке

Рис. 99.

Мы определили касательную (рис. 99) как предельное положение секущей при стремлении к нулю [91].

Очевидно, можно дать и такое, равносильное этому, определение:

Прямая называется касательной к кривой в точке на ней, если расстояние переменной точки М кривой от прямой при стремлении расстояния к нулю, является бесконечно малой высшего порядка, чем (т. е. если отношение при этом стремится к нулю.

Рассмотрим теперь некоторую поверхность и на ней точку (рис. 100).

Аналогично определению касательной прямой, дадим определение касательной плоскости:

Плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в точке на ней, если расстояние переменной точки М поверхности от этой плоскости, при стремлении расстояния к нулю, является бесконечно малой высшего порядка, чем (т. е. если отношение при этом стремится к нулю).

Рис. 100.

Пусть [159] поверхность задана уравнением в прямоугольных координатах.

Возьмем на ней точку и исследуем, при каких условиях плоскость , проходящая через точку и имеющая уравнение

удовлетворяет этому определению.

Проведем параллельно оси z (см. рис. 100) и из опустим на перпендикуляр Так как отрезок отличается от постоянным множителем (не равным нулю), то вместо отношения можно рассматривать отношение Покажем теперь, что, не меняя по существу определения касательной плоскости, можно, наконец, заменить здесь расстояние отрезком

Если при стремится к нулю отношение то это тем более верно для отношения ибо Предположим теперь, что стремится к нулю, и установим, что тогда стремится к нулю и Для этого достаточно доказать, что при отношение — остается ограниченным. Отрезок с точностью до знака, равен выражению

или, если ввести обозначения

- выражению

Ввиду сделанного предположения, по крайней мере для точек М, достаточно близких к будем иметь

так что

или (усиливая неравенство)

Отсюда

а следовательно,

что и требовалось доказать.

Таким образом, плоскость (6) будет касательной к поверхности в том и только в том случае, если отношение

стремится к нулю вместе , т. е. если имеет место разложение

Мы приходим к окончательному заключению: для того, чтобы поверхность в точке где имела касательную плоскость, необходимо и достаточно, чтобы при функция была дифференцируема.

Так как при выполнении этого условия коэффициенты А и В необходимо равны частным производным то касательная плоскость выразится уравнением

Обычно значков при х, у, z не пишут; тогда уравнение касательной плоскости принимает вид

Нетрудно видеть, что если пересечь поверхность и касательную к ней плоскость любой плоскостью, параллельной оси z и проходящей через точку то в сечении с первой получается некоторая кривая, а в сечении со второй - касательная к ней прямая

В частности, в сечении поверхности плоскостями получатся кривые, угловые коэффициенты которых соответственно равны:

На рис. 101 отрезки и представляют частные и полное приращения функции, а отрезки и - частные и полный ее дифференциалы [ср. п° 104 и рис. 44].

Рис. 101.