32. Примеры на нахождение пределов.

1) Пусть будет многочлен, целый относительно с постоянными коэффициентами:

Поставим вопрос о пределе его. Если бы все коэффициенты этого многочлена были положительны (отрицательны), то сразу ясно, что пределом будет Но в случае коэффициентов разных знаков одни члены стремятся к другие к налицо неопределенность вида

Для раскрытия этой неопределенности представим в виде:

Так как все слагаемые в скобках, начиная со второго, при возрастании будут бесконечно малыми, то выражение в скобках имеет пределом первый же множитель стремится к в таком случае все выражение стремится к или к в зависимости от знака

Уничтожение «неопределенности» путем преобразования данного выражения (чем мы здесь воспользовались) часто применяется для раскрытия неопределенности.

2) Если есть такой же многочлен

то частное при возрастании представит неопределенность вида

Преобразуя и здесь каждый из многочленов так, как это было сделано в 1), получим:

Второй множитель здесь имеет конечный предел Если степени обоих многочленов равны: таков же будет и предел отношения - При первый множитель стремится к так что рассматриваемое отношение стремится к [знак - в зависимости от знака . Наконец, при первый множитель, а с ним и все выражение, стремится к нулю.

3) Найти объем V треугольной пирамиды (рис. 3).

Рис. 3.

Разделив высоту Н пирамиды на и равных частей, проведем через точки деления плоскости, параллельные плоскости основания. В сечении получатся треугольники, подобные основанию. Построим на них систему входящих и выходящих призм; из первых составится тело с объемом а из вторых - тело с объемом причем, очевидно,

Но разность есть не что иное, как объем нижней выходящей призмы с основанием и высотой — итак разность

при возрастании и, а тогда тем более стремятся к нулю и разности т. е.

Найдем теперь выражение для Мы имеем здесь тело, составленное из ряда выходящих призм; по свойству сечений пирамиды, их основания, соответственно, будут равны:

в то время как высота у всех одна и та же: Поэтому

так что

4) Найти площадь фигуры образованной частью параболы отрезком оси х и отрезком (рис. 4). Разобьем отрезок на равных частей и построим на них ряд входящих и выходящих прямоугольников. Площади составленных из них ступенчатых фигур разнятся площадью — наибольшего прямоугольника. Отсюда, как и в 3), разность и, так как

очевидно,

Рис. 4.

Так как высоты отдельных прямоугольников суть ординаты точек параболы, с абсциссами

и - в согласии с уравнением кривой - величина их равна, соответственно,

то для получаем выражение

Отсюда

Опираясь на это, легко получить, что площадь параболического сегмента равна — т. е. - двум третям площади описанного прямоугольника (этот результат был известен еще Архимеду).

5) Доказать, что при

Мы имеем здесь неопределенность вида Преобразуем, вынося за скобку:

Так то и подавно

6) Найти предел варианты

представляющей (согласно предыдущему примеру) неопределенность вида Умножая и деля на сумму корней преобразуем данное выражение к неопределенности вида —

наконец, делим числитель и знаменатель на

Очевидно,

так как выражение справа стремится к 1, то это же справедливо и относительно корня. Окончательно,

7) Найти пределы вариант:

и, наконец,

Варианты и представляют неопределенность вида — (так как оба корня то они стремятся к Преобразуем, деля числитель и знаменатель на

Так как оба корня в знаменателе имеют пределом 1 (ср. предыдущий пример), то

Выражение для имеет своеобразную форму: каждое слагаемое этой суммы зависит от но и число их растет вместе с Так как каждое слагаемое меньше первого и больше последнего, то

Но (согласно уже найденному) варианты стремятся к общему пределу 1; следовательно, - по теореме 3°, 28, - к тому же пределу стремится и варианта

8) Пусть дано положительных чисел

Обозначая через А наибольшее из них, доказать, что

Заключение это следует из очевидных неравенств

[см. 25, 5)]

9) Мы видели в 27, что при степень (с возрастанием и). Исследуем теперь поведение отношения

(при к представляющего неопределенность вида —

Установим одно вспомогательное неравенство неравенство Бернулли в 19]. Положив , так что имеем по формуле бинома Ньютона:

Так как для и 2, очевидно, то окончательно,

При получаем сразу

так что

Так как этот результат верен при любом то, взяв 1, можем написать (по крайней мере, для достаточно больших

откуда

Доказанный, таким образом, для этот результат тем более будет верен и для

10) Тем же неравенством (3) можно воспользоваться, чтобы установить, что

Именно, полагая в нем получим

откуда

что и приводит к требуемому результату.

11) Теперь мы можем установить и другой интересный предел

Здесь мы снова имеем неопределенность вида ибо, как легко показать,

Действительно, если взять произвольное число то, поскольку для достаточно больших будет [26, 1°]

Логарифмируя по основанию а, получим

откуда и следует высказанное утверждение.