§ 2. Дифференциал

103. Определение дифференциала.

Пусть имеем функцию определенную в некотором промежутке и непрерывную в рассматриваемой точке Тогда приращению аргумента отвечает приращение

бесконечно малое вместе с Большую важность имеет вопрос: существует ли для такая линейная относительно бесконечно малая что их разность оказывается, по сравнению с бесконечно малой высшего порядка:

При наличие равенства (1) показывает, что бесконечно малая эквивалентна бесконечно малой и, значит, служит для последней ее главной частью, если за основную бесконечно малую взята [62, 63].

Если равенство (1) выполняется, то функция называется дифференцируемой (при данном значении само же выражение называется дифференциалом функции и обозначается символом или

[В последнем случае, в скобках указывается исходное значение

Еще раз повторяем, что дифференциал функции характеризуется двумя свойствами: (а) он представляет линейную (однородную) функцию от приращения аргумента и разнится от приращения функции на величину, которая при является бесконечно малой порядка высшего, чем

Рассмотрим примеры.

1) Площадь круга радиуса задается формулой Если радиус увеличить на то соответствующее приращение величины будет площадью кругового кольца, содержащегося между концентрическими окружностями радиусов Из выражения

сразу усматриваем, что главной частью при будет это и есть дифференциал, Геометрически он выражает площадь прямоугольника (полученного как бы «выпрямлением» кольца) с основанием, равным длине окружности и высотой

2) Аналогично, для объема шара радиуса при увеличении радиуса на получается приращение

главной частью которого при очевидно, будет Это - объем плоского слоя с основанием, равным поверхности шара и с высотой в подобный слой как бы «распластывается» слой, содержащийся между двумя концентрическими шаровыми поверхностями радиусов

3) Наконец, рассмотрим свободное падение материальной точки, по закону За промежуток времени от t до движущаяся точка пройдет путь

При его главной частью будет Вспомнив, что скорость в момент t будет видим, что дифференциал пути (приближенно заменяющий приращение пути) вычисляется как путь, пройденный точкой, которая в течение всего промежутка времени двигалась бы именно с этой скоростью.