145. Точки перегиба.

При построении графиков функций (чему будет посвящен следующий параграф), представляют интерес, так называемые, точки перегиба кривой

Точку кривой называют ее точкой перегиба, если она отделяет участок кривой, где функция выпукла (выпукла вниз), от участка, где эта функция вогнута (выпукла вверх) (рис. 74).

Рис. 74.

Если предположить, что в рассматриваемом промежутке функция имеет конечную производную, то эта производная, по теореме 2, возрастает в некоторой окрестности слева от бывает в окрестности справа, или наоборот - убывает слева и возрастает справа. В первом случае имеет при максимум, а во втором - минимум. Если допустить еще существование конечной второй производной хотя бы только при то необходимо (ср. 134].

Это условие играет такую же роль в отношении точек перегиба, какую играло условие разыскании экстремумов функции оно необходимо, но не достаточно.

В последнем легко убедиться на примере - пусть тогда в промежутке так что, по теореме 2, функция выпукла во всем этом промежутке, хотя обращается в нуль в точке

Если вторая производная существует везде внутри рассматриваемого промежутка, то абсциссы точек перегиба следует искать среди корней этой производной. Но каждый корень подлежит испытанию. Пусть в некоторых окрестностях слева и справа от производная сохраняет определенный знак. Тогда для распознавания точки перегиба можно дать такое правило: если при переходе через значение производная меняет знак, то налицо перегиб, если же знака не меняет, то перегиба нет

Отметим, что при этом на участках кривой, отделенных точкой кривая оказывается строго выпуклой на одном и вогнутой на другом.

Рассмотрим, для примера, функцию для нее обращается в нуль в точках - целое), меняя при этом знак. Следовательно, все точки синусоиды, лежащие на оси х, являются точками перегиба; легко видеть, что в промежутках синусоида выпукла (выпукла вниз), а в промежутках она вогнута (выпукла вверх).

Можно было бы, как мы это сделали в п° 138 при разыскании экстремумов функции, привлечь и высшие производные в испытуемой точке для которой Таким путем получается правило: если первая из производных (выше второго не обращающихся в точке в нуль, есть производная нечетного порядка, то налицо перегиб, если же такой производной является производная четного порядка, то перегиба нет.

В заключение, укажем замечательное свойство кривой относительно касательной к ней в точке перегиба (если такая касательная существует): кривая переходит в этой точке с одной стороны касательной на другую, т. е. кривая и касательная взаимно пересекаются (см. рис. 74).

Это обстоятельство очевидно, если касательная вертикальна (ср. рис. 43, а и б). Обратимся к случаю наклонной или горизонтальной касательной, предполагая существование конечной производной Допустим для определенности, что левее точки перегиба, для кривая выпукла, а правее, для кривая вогнута (это отвечает рис. 74, б). В этом случае установим, что для кривая лежит над касательной (или на ней), а для - под касательной (или на ней), т. е. что

и

Но первое из этих неравенств совпадает с неравенством (10) [143] (следует иметь в виду замечание, там же). Второе есть аналог неравенства (10) для вогнутой функции.

Замечание. Часто именно это свойство кривой принимают просто за определение точки перегиба. Такое определение вовсе не равносильно данному выше. Кривая прежде всего может не иметь касательной в точке перегиба, так что второе определение окажется неприложимым. Может случиться обратное: кривая пересекает касательную в точке, которая не отделяет выпуклого участка кривой от вогнутого, и первое определение неприложимо. Таковы кривые на рис. 43, в и но интереснее кривая при при которая в начале координат касается оси х и пересекает ее; здесь существует даже непрерывная вторая производная, но она бесчисленное множество раз меняет знак вблизи точки как слева, так и справа от нее.