164. Функции n переменных.

Пусть имеем переменных совместные значения которых могут выбираться произвольно из некоторого множества точек -мерного пространства: эти переменные называются независимыми. Определение функции и все сказанное по поводу него для случая двух независимых переменных [160] непосредственно переносится и на рассматриваемый случай, так что нет надобности на этом останавливаться.

Если точку обозначить через М, то функцию от этих переменных иногда назьюают функцией точки М и обозначают тем же знаком:

Предположим теперь, что в некотором множестве § точек -мерного пространства не связано с заданы функций от переменных

или, короче,

где Р означает точку -мерного пространства. Допустим, сверх того, что когда точка изменяется в пределах множества , соответствующая ей -мерная точка М, с координатами (5) [или (5а)], не выходит за пределы -мерного множества где определена функция

Тогда переменную и можно рассматривать как сложную функцию от независимых переменных (в множестве через посредство переменных

и является функцией от функций Самый процесс определения сложной функции по функциям и функции называется (как в простейшем случае функций одной переменной) - суперпозицией.

Класс функций нескольких переменных, с которыми непосредственно приходится иметь дело на первых порах, очень невелик. По существу, он строится с помощью суперпозиций на элементарных функциях одной переменной [48, 50] и на следующих функциях двух переменных:

т. е. на четырех арифметических операциях и на так называемой степенно-показательной функции.

Арифметические операции, повторно примененные, исходя из независимых переменных и постоянных, приводят прежде всего к целым многочленам:

(целая рациональная функция) и к частным двух таких многочленов

(дробная рациональная функция).

Привлечение элементарных функций одной переменной приводит к таким, например, функциям:

Те замечания, которые были сделаны в 46 по поводу аналитического задания функций одной переменной, могут быть повторены и здесь.