195. Формула Тейлора.

Мы уже знаем [126 (13)], что функция при условии существования ее первых производных, может быть следующим образом разложена по формуле Тейлора:

(дополнительный член взят в форме Лагранжа). Эту формулу, положив

можно переписать так:

При этом важно подчеркнуть, что величина входящая в различных степенях в выражения дифференциалов справа, в точности равна тому приращению которое фигурирует в приращении функции слева.

Именно в последней форме формула Тейлора распространяется и на случай функции от нескольких переменных.

Для упрощения письма ограничимся функцией двух переменных.

Предположим, что в окрестности некоторой определенной точки эта функция имеет непрерывные производные всех порядков до включительно. Придадим некоторые приращения так, чтобы прямолинейный отрезок, соединяющий точки не вышел за пределы рассматриваемой окрестности точки

Требуется доказать, что при сделанных предположениях относительно функции справедливо следующее равенство:

причем фигурирующие справа в различных степенях дифференциалы равны именно тем приращениям независимых переменных, которые породили приращение функции слева.

Для доказательства [как и в п° 183] введем в рассмотрение новую независимую переменную t, положив

Подставив эти значения х и у в функцию получим сложную функцию от одной переменной V.

Мы уже знаем, что введенные нами в рассмотрение формулы (10) геометрически выражают прямолинейный отрезок, соединяющий точки

Теперь мы видим, что вместо приращения

мы можем рассматривать приращение вспомогательной функции:

так как оба приращения равны. Но является функцией от одной переменной и имеет [192] и непрерывных производных; следовательно, применив к ней уже выведенную ранее формулу Тейлора, получим

при этом дифференциал входящий в различных степенях справа, равен

Теперь, пользуясь тем, что при линейной замене переменных свойство инвариантности формы имеет место и для высших дифференциалов, можем написать, что

и т. д. Наконец, для дифференциала будем иметь

Важно отметить, что здесь дифференциалы ничем не отличаются от ранее взятых приращений Действительно,

Подставив все это в разложение (11), мы и придем к требуемому разложению (9).

Читатель должен дать себе отчет в том, что, хотя в дифференциальной форме формула Тейлора для случая функции нескольких переменных имеет такой же простой вид, как и для случая функции одной переменной, - но в развернутом виде она гораздо сложнее. Вот как выглядят первые три ее члена даже для функции лишь двух переменных:

Формула (9) имеет место и при этот частный случай мы уже рассматривали в 183.