221. Общий случай замены переменных.

Обратимся, наконец, к общему случаю, когда заменяются и независимые переменные, и функция. Пусть формулы преобразования разрешены относительно старых переменных:

Если z есть функция от то подставляя сюда вместо х, у и z их выражения через получим зависимость между последними переменными, так что будет функцией от .

Считая независимыми переменными (прямой метод), функцией от них через посредство х и у, как и выше, получим равенства (9), а из них (10). Но здесь под — разумеются «полные» частные производные от х, у, z по или и, получаемые из (19) с учетом того обстоятельства, что сама зависит от :

Коэффициенты содержат не только t, но и производные последние входят рациональным образом. Последовательное применение формул (10) и здесь приведет к выражениям для вторых производных, и т. д. Если формулы преобразования разрешены относительно новых переменных:

то обычно прибегают к обратному методу, т. е. считают независимыми переменными х и у. Имеем

Вместо сюда нужно подставить их выражения, получаемые дифференцированием по х и по у формул (20), с учетом того, что z есть функция от

Таким путем получаются линеиные относительно уравнения, из которых эти производные легко выражаются через

Вычисление дальнейших производных проще всего выполнить так: дифференцируем полученное для или выражение снова по рассматривая производные — и — как функции от х и у через посредство

В случае формул преобразования общего вида

можно пользоваться любым из этих методов с применением правил дифференцирования неявных функций.

Для решения рассматриваемой общей задачи замены переменных применим и метод вычисления полных дифференциалов. Мы ограничимся изложением той его формы, которая связана с предположением, что независимыми являются старые переменные х и у (обратный метод), так что по этим переменным и берутся все дифференциалы.

Последовательным дифференцированием, исходя из формул (21), можно найти выражения

Если в равенство

подставить вместо их выражения (22), то получим

откуда

где А, В рациональным образом содержат производные

Сопоставляя это с формулой

видим, что

Возьмем теперь равенство и и не являются независимыми переменными)

и подставим сюда вместо их выражения (22) и (23), а затем и заменим его выражением (24). Из полученного равенства определится

где рациональным образом содержат производные Сопоставляя с формулой

приходим к результату

Задаче преобразования переменных и здесь можно придать геометрический смысл. Если переменные рассматривать как координаты точек М и Р пространства, то формулы преобразования, например, в форме (20), относят каждой точке М некоторую точку Р, т. е. характеризуют точечное преобразование пространства (или его части). Зависимости между х, у и z отвечает зависимость между и так что каждая поверхность преобразуется при этом в некоторую поверхность

Мы видели, что значениями однозначно определяются значения . Вспоминая уравнение касательной плоскости [180 (6)]:

отсюда легко заключить, что двум касающимся в точке М поверхностям отвечают в рассматриваемом преобразовании две поверхности также касающиеся в точке Р. Точечное преобразование пространства сохраняет касание ниже пример 7)].