221. Общий случай замены переменных.
Обратимся, наконец, к общему случаю, когда заменяются и независимые переменные, и функция. Пусть формулы преобразования разрешены относительно старых переменных:
Если z есть функция от
то подставляя сюда вместо х, у и z их выражения через
получим зависимость между последними переменными, так что
будет функцией от
.
Считая независимыми переменными
(прямой метод),
функцией от них через посредство х и у, как и выше, получим равенства (9), а из них (10). Но здесь под
— разумеются «полные» частные производные от х, у, z по
или и, получаемые из (19) с учетом того обстоятельства, что
сама зависит от
:
Коэффициенты
содержат не только t, но и производные
последние входят рациональным образом. Последовательное применение формул (10) и здесь приведет к выражениям для вторых производных, и т. д. Если формулы преобразования разрешены относительно новых переменных:
то обычно прибегают к обратному методу, т. е. считают независимыми переменными х и у. Имеем
Вместо
сюда нужно подставить их выражения, получаемые дифференцированием по х и по у формул (20), с учетом того, что z есть функция от
Таким путем получаются линеиные относительно
уравнения, из которых эти производные легко выражаются через
Вычисление дальнейших производных проще всего выполнить так: дифференцируем полученное для
или выражение снова по
рассматривая
производные — и — как функции от х и у через посредство
В случае формул преобразования общего вида
можно пользоваться любым из этих методов с применением правил дифференцирования неявных функций.
Для решения рассматриваемой общей задачи замены переменных применим и метод вычисления полных дифференциалов. Мы ограничимся изложением той его формы, которая связана с предположением, что независимыми являются старые переменные х и у (обратный метод), так что по этим переменным и берутся все дифференциалы.
Последовательным дифференцированием, исходя из формул (21), можно найти выражения
Если в равенство
подставить вместо
их выражения (22), то получим
откуда
где А, В рациональным образом содержат производные
Сопоставляя это с формулой
видим, что
Возьмем теперь равенство
и и не являются независимыми переменными)
и подставим сюда вместо
их выражения (22) и (23), а затем и
заменим его выражением (24). Из полученного равенства определится