154. Правило пропорциональных частей (метод хорд).

Если промежуток достаточно мал, то с известным приближением можно считать, что - при изменении в его пределах - приращение функции пропорционально приращению аргумента. Обозначая через I корень функции, имеем, в частности,

откуда, с учетом того, что

Таким образом, за приближенное значение корня здесь принимается число

Это выражение, очевидно, можно представить и в такой форме

Изложенное правило получения приближенного значения корня и называется правилом пропорциональности частей. Оно допускает простое геометрическое

истолкование. Заменим дугу кривой (рис. 82) - хордой Уравнение последней может быть написано, например, в виде

Наше правило, по существу, сводится к тому, что вместо точки А пересечения кривой с осью х определяется точка пересечения с осью этой хорды.

Рис. 82.

Действительно, полагая в для абсциссы точки получаем именно выражение (2).

В связи с этим правило пропорциональных частей называют также методом хорд.

Обратимся теперь к исследованию вопроса о положении точки по отношению к корню Непосредственно ясно, что точка лежит между а и но с какой стороны от

Так как в случаях I и II (III и IV) мы имеем дело с выпуклой вниз (вверх) функцией, то кривая лежит под (над) хордой т. е.

Полагая здесь непосредственно получаем

так что всегда имеет знак, противоположный знаку . Отсюда, наконец, заключаем, что в случаях I и IV значение лежит между а и , в случаях же II и III - между

Ограничиваясь случаями I и IV, применим снова наше правило, на этот раз к промежутку заменяя в (2) а на получим новое приближенное значение корня

содержащееся, по доказанному, между Этот процесс можно продолжать неопределенно и построить последовательность все возрастающих приближенных значений

При этом любые два последовательных значения связаны формулой, аналогичной (2),

Покажем, что, с возрастанием . В самом деле, монотонно возрастающая, но ограниченная (например, числом переменная должна стремиться к некоторому конечному пределу Если перейти к пределу в равенстве (5), используя при этом непрерывность функции то получим, что

откуда Так как других корней уравнения (1), кроме I, в промежутке нет, то

Рис. 83.

Рис. 83 иллюстрирует постепенное приближение точек пересечения последовательных хорд с осью к искомой точке А.

Легко понять, что в случаях II или III повторное применение правила приведет к последовательности убывающих приближенных значений

стремящихся к корню справа.

Таким образом, во всех случаях, применив достаточное число раз указанное выше правило, можно вычислить корень (с любой степенью точности. При этом, впрочем, остается открытым вопрос, как оценить точность уже вычисленного приближенного значения

Для решения его применим к разности формулу конечных приращений [112]:

Отсюда

если обозначить через наименьшее значение в рассматриваемом промежутке (которое можно раз навсегда вычислить наперед), то получим оценку:

Так по самой величине оказывается возможным судить о близости к корню! Рассмотрим пример. Уравнение

имеет корень между 3 и 4, ибо, если через обозначить левую его часть

Поставим себе задачей вычислить этот корень с точностью до 0,01. В промежутке [3, 4] обе производные

сохраняют знак плюс (случай I); наименьшее значение первой из них будет Имеем:

округляя, положим . Так как то, по неравенству (6), требуемой точности еще нет. Продолжаем:

или, округляя, Вычислив и пользуясь неравенством (6), снова видим, что цель еще не достигнута. Наконец,

Округляя, положим Так как мы округлили «в сторону корня», то могли и перескочить через него; что этого не произошло, видно по знаку числа На этот раз, по неравенству (6),

Таким образом,

Этим примером мы ограничимся, так как метод хорд все же мало эффективен; ему следует предпочесть метод касательных, к которому мы и переходим.