10. Непрерывность области вещественных чисел.

Обратимся теперь к рассмотрению одного весьма важного свойства области всех вещественных чисел, которое ее существенно отличает от области чисел рациональных. Рассматривая сечения в области рациональных чисел, мы видели, что иной раз для такого сечения в этой области не находилось пограничного числа, про которое можно было бы сказать, что оно производит сечение. Именно эта неполнота области рациональных чисел, наличие в ней этих пробелов и послужили основанием для введения новых чисел - иррациональных. Станем теперь рассматривать сечения в области всех вещественных чисел. Под таким сечением мы понимаем разбиение этой области на два не пустых множества , при котором:

1° каждое вещественное число попадает в одно, и только одно из множеств

2° каждое число а множества А меньше каждого числа а множества А.

Возникает вопрос: всегда ли для такого сечения найдется среди вещественных чисел - пограничное число, производящее это сечение, или в этой области существуют пробелы (которые могли бы послужить основанием для введения еще новых чисел)?

Оказывается, что на деле таких пробелов нет:

Основная теорема (Дедекинда). Для всякого сечения в области вещественных чисел существует вещественное число которое производит это сечение. Это число будет 1) либо наибольшим в нижнем классе А, 2) либо наименьшим в верхнем классе А.

Это свойство области вещественных чисел называют ее полнотой, а также - непрерывностью (или сплошность

Доказательство. Обозначим через А множество всех рациональных чисел, принадлежащих к А, а через А - множество всех рациональных чисел, принадлежащих к А. Легко убедиться, что множества образуют сечение в области всех рациональных чисел.

Это сечение определяет некоторое вещественное число Оно должно попасть в один из классов А, А; предположим, что попадает, например, в нижний класс А, и докажем, что тогда осуществляется случай 1), а именно, является в классе А наибольшим. В самом деле, если бы это было не так, то нашлось бы другое число этого класса, большее Вставим (опираясь на лемму 1) между рациональное число

также принадлежит классу А и, следовательно, принадлежит классу А. Мы пришли к противоречию: рациональное число принадлежащее нижнему классу сечения, определяющего число больше этого числа! Этим доказано наше утверждение.

Аналогичное рассуждение показывает, что если попадает в верхний класс А, то осуществится случай 2).

Замечание. Одновременное существование в классе А наибольшего числа и в классе А наименьшего - невозможно; это устанавливается так же, как и для сечений в множестве рациональных чисел (с помощью леммы 1).