68. Примеры непрерывных функций.

1° Целая и дробная рациональные функции. Функция очевидно, непрерывна во всем промежутке если то Точно так же непрерывна и функция, сводящаяся тождественно к постоянной.

Отсюда, на основании теоремы предыдущего п°, вытекает уже непрерывность любого одночленного выражения

как произведения непрерывных функций, а затем - и многочлена (целой рациональной функции)

как суммы непрерывных функций. Во всех упомянутых случаях непрерывность имеет место во всем промежутке

Очевидно, наконец, что и частное двух многочленов (дробная рациональная функция):

также будет непрерывно при каждом значении х, кроме тех, которые обращают знаменатель в нуль.

2°. Показательная функция. Докажем непрерывность показательной функции при любом значении , иными словами, установим, что

(При этом достаточно ограничиться предположением: а

Мы видели в 54, 6), что

Так как 1 есть как раз значение нашей функции, то это равенство и выражает непрерывность показательной функции в точке Отсюда уже легко перейти к любой точке; действительно,

но при очевидно, так что - по доказанному -

3° Гиперболические функции. Их непрерывность, по уже упоминавшейся теореме, непосредственно вытекает из доказанной непрерывности показательной функции, ибо все они рационально выражаются через функцию е.

4° Тригонометрические функции. Остановимся сначала на функции Она также непрерывна при любом значении т. е. имеет место равенство

Для доказательства заметим, что из неравенства

установленного 54, (9) для легко вывести, что неравенство

справедливо уже для всех значений это следует из того, что Далее, имеем:

так что

и, окончательно,

каковы бы ни были значения

Если задано любое то положим при будет

что и доказывает непрерывность Аналогично устанавливается и непрерывность функции также при любом значении х.

Отсюда, по теореме предыдущего п°, вытекает уже непрерывность функций

Исключение представляют для первых двух - значения вида обращающие в 0, для последних двух - значения вида обращающие в 0.