243. Соприкасающаяся кривая.

Предположим теперь, что вместо кривой (15) нам дано семейство кривых с параметрами

Теперь естественно поставить вопрос, можно ли, распоряжаясь значениями параметров, выбрать из этого семейства такую кривую, которая с данной кривой в определенной ее точке имела бы наивысший возможный (для данного семейства) порядок касания.

Подобная кривая и носит название соприкасающейся к данной кривой в точке [Точнее было бы сказать: соприкасающейся кривой из такого-то семейства, ибо для отдельно взятой кривой (15) этот термин не имеет смысла.]

Для разыскания соприкасающейся кривой введем обозначение, аналогичное (16):

и напишем ряд условий, вроде (17):

Мы имеем здесь систему из уравнений си неизвестными Обычно эта система однозначно определяет систему значений параметров, и таким путем находится соприкасающаяся кривая, имеющая порядок касания не ниже

При этом обычно оказывается, что

так что порядок точно равен и. Такое положение вещей (при и параметрах) считается нормальным.

В тех же исключительных точках, где дополнительно выполняется и равенство

говорят о пересоприкасании. Эти точки можно найти, если равенства (20) и (21) вместе рассматривать как систему из уравнений с неизвестными

Примеры. 1) Соприкасающаяся прямая. Семейство прямых выражается уравнением

с двумя параметрами. Поэтому наибольший порядок касания, который удается установить в общем случае, будет первый.

Здесь имеем:

если под у разуметь Отмечая нуликами значения у, у, отвечающие выбранному значению для определения параметров а и получим уравнения

Отсюда Подставляя эти значения в уравнение прямой, придем к уравнению

в котором читатель без труда узнает уравнение касательной.

Итак, соприкасающейся прямой является касательная. Порядок касания, вообще говоря, как указывалось, будет первый. Он повышается в тех отдельных точках, где выполняется дополнительное условие (например, в точках перегиба).

2) Соприкасающийся круг Семейство окружностей выражается уравнением

с тремя параметрами и Наивысший порядок касания вообще будет второй.

Так как здесь, если снова под у разуметь

то параметры определяются из уравнений

Из двух последних (в предположении, что и 0) находим координаты центра:

а тогда из первого получится радиус

По этим элементам и устанавливается соприкасающийся круг.

По сказанному в п° 241, как правило, касательная не пересекает кривой, а соприкасающийся круг, наоборот, пересекает ее. Исключение может представиться лишь в точках, где порядок касания повышается против нормального.