122. Конечные разности.

Пусть функция определена в некотором промежутке X и все значения х, которые будут встречаться, считаются принадлежащими этому промежутку. Фиксировав некоторое приращение переменной х (мы будем предполагать, для определенности, хотя ничто не мешало бы рассматривать и положим

и назовем это выражение первой разностью нашей функции. Второй разностью называется первая разность от первой разности:

Высшие разности определяются индуктивно:

Впрочем, для разности может быть установлена и формула

выражающая эту разность непосредственно через значения самой функции в равноотстоящих точках

Эта формула легко доказывается по методу математической индукции, что может быть предоставлено читателю.

Сопоставим теперь эти конечные разности с производными и дифференциалами.

Предположим, что функция имеет непрерывных производных

в замкнутом промежутке и конечную производную по крайней мере, в открытом промежутке . Тогда имеет место формула

При дело сводится к формуле конечных приращений, которая является простейшим частным случаем формулы (7). Намереваясь провести доказательство нашего утверждения по методу математической индукции, мы допустим справедливость измененной формулы (7), получаемой при замене на разумеется, при соответственно измененных предположениях, и докажем (7), при сделанных предположениях. Из них следует, что для функции в промежутке с избытком выполняются условия применимости измененной формулы (7), и мы можем написать

где Применяя к правой части этого равенства формулу конечных приращений получим непосредственно формулу (7), причем

Заметим, что, если производная существует также в точке и притом непрерывна в этой точке, то из соотношения (7) при (тогда ) следует, что

Впрочем, эта интересная формула, устанавливающая возможность получения производной с помощью лишь одного предельного перехода, справедлива при единственном предположении, что эта производная существует именно в точке Это значит, что в некоторой окрестности точки существуют производные

и, следовательно, при достаточно малом может быть применена формула (8). Ввиду существования производной воспользовавшись формулой (2) п° 96, можем написать

и

где а и зависят от и вместе с ним стремятся к нулю. Отсюда и из (8) вытекает

где у - новая бесконечная малая. Наконец, деля это равенство почленно на и переходя к пределу при придем к формуле (9).

Подчеркнем, что она имеет место лишь в предположении, что существует производная Предел справа может существовать и тогда, когда этой производной нет Рассмотрим, например, функцию, определенную так:

взяв Для нее существует первая производная

но нет в точке 0 второй производной, ибо отношение

при предела не имеет. В то же время выражение