194. Дифференциалы сложных функций.

Пусть мы теперь имеем сложную функцию:

где, в свою очередь,

В этом случае первый дифференциал может быть сохранен в прежнем виде:

[на основании инвариантности формы первого дифференциала, 185]. Но здесь уже являются дифференциалами не независимых переменных, а функций и, следовательно, сами будут функциями, и могут не быть постоянными, как в предыдущем случае.

Вычислив теперь второй дифференциал нашей функции, будем иметь (если воспользоваться правилами дифференцирования п° 185]:

Мы видим, что для дифференциала порядка выше первого инвариантность формы вообще не имеет места.

Рассмотрим теперь частный случай, когда являются линейными функциями от , т. е. когда

где - постоянные.

В этом случае будем иметь

Мы видим, что все первые дифференциалы функций в этом случае постоянны, не зависят от следовательно, применимы без изменений выкладки п° 193. Отсюда вытекает, что в случае замены независимых переменных линейными функциями от новых переменных могут быть сохранены прежние выражения даже для дифференциалов высших порядков. В них дифференциалы совпадают с приращениями но эти приращения не произвольны, а обусловливаются приращениями

Это простое и важное замечание (принадлежащее Коши) мы используем непосредственно в следующем п°.