244. Другой подход к соприкасающимся кривым.
Пусть даны кривая 
и семейство кривых (19) с 
параметрами. Возьмем на кривой произвольные 
точек с абсциссами 
Для того чтобы кривая семейства через эти точки проходила, должны выполняться 
условий:
Обычно отсюда значения параметров определяются однозначно; обозначим их через 
Предположим теперь, что когда взятые 
точек по произвольному закону стремятся к некоторой определенной точке кривой с абсциссой 
то и значения параметров 
стремятся к определенным пределам 
Можно считать, что проходящая через упомянутые точки кривая семейства, перемещаясь или деформируясь, стремится к предельной кривой.
Для того чтобы ее найти, станем рассуждать так. Функция от 
обращается в 0 для 
значений 
Тогда, по теореме Ролля [111], первая производная обратится в 0 для 
значений 
вторая - для 
значений: 
- для двух значений: и, наконец, 
для некоторого значения 
при этом все упомянутые значения лежат между 
Таким образом, имеет место 
равенств:
Если теперь одновременно 
и, очевидно, также 
Переходя к пределу в написанных вьппе равенствах, мы вернемся к уже знакомой нам системе (20), определявшей соприкасающуюся кривую.
Итак, если существует предельное положение для кривой семейства, проходящей через 
точек данной кривой, то эта предельная кривая и будет соприкасающейся.
В связи с этим иногда говорят (не слишком строго, но образно), что соприкасающаяся кривая - из семейства с 
параметрами - есть «кривая, проходящая через 
бесконечно близких точек» данной кривой. В частности, касательная проходит через две бесконечно близкие точки кривой, а соприкасающийся круг - через три.
