где 
следовательно,
Напишем теперь тождество (которое легко непосредственно проверить):
откуда
Второе слагаемое справа для 
будет меньше в силу (1). Ввиду того же, что 
при 
первое слагаемое при этом стремится к нулю, и найдется такое 
(можно считать 
что для 
первое слагаемое тоже станет меньше Для указанных значений х будем иметь тогда
что и доказывает требуемое утверждение.
В том случае, когда 
[и заведомо 
, по крайней мере, вблизи а], имеем, меняя ролями 
откуда, наконец,
так как (по крайней мере вблизи а), очевидно, и 
Отметим, что доказательство без существенных изменений распространяется и на случай 
Точно так же теорема могла бы быть доказана и для промежутка 
как при конечном а, так и при 
Таким образом, на случай бесконечного предела аргумента теорема 4 распространяется автоматически.
В виде примера легко получить уже известные нам пределы:
Если 
то справа снова имеем неопределенность того же типа — 
но, продолжая этот процесс и повторно применяя теорему 4, в конце концов получим в числителе степень с отрицательным (или нулевым) показателем. Поэтому, во всяком случае,
Сделаем общее замечание относительно теорем 
. В них устанавливается предел отношения функций в предположении, что существует предел отношения производных. Но обращение этих теорем недопустимо, и первый предел может существовать при отсутствии второго.
Например, существует предел
хотя отношение производных, равное 
предела при 
не имеет.
, т. е. исследуем вопрос о пределе отношения двух функций 
стремящихся к 
.
определены в промежутке 
существуют в промежутке 
конечные производные 
причем 
и, наконец, 4) существует (конечный или нет) предел
не обращается в нуль, то по теореме Дарбу [110] она сохраняет знак, и функция 
изменяется монотонно [132]. Из 2) тогда ясно, что 
с убыванием х монотонно возрастая стремится к 
Можно считать, что всегда 
в силу условия 4), найдем такое 
что при 
будет
и возьмем х между а и 
. К промежутку 
применим формулу Коши:
