158. Примеры и упражнения.

Здесь предполагается пользование лишь комбинированным методом.

1) Найти три вещественных корня уравнения

с точностью до 0,001.

Грубый график функции помогает найти промежутки, в которых содержатся эти корни:

проверить это легко по изменению знака функции.

(а) В промежутке

случай (III). Так как то правило Ньютона надлежит применять к левым концам промежутков. Имеем: и

Округляя значение в сторону уменьшения, получим число . Если же округлить его в сторону увеличения, т. е. в сторону корня, то получим число — 1,95; но т. е. в этом случае мы перескочили через корень. Это обстоятельство выгодно для нас, ибо дает возможность сузить промежуток, содержащий корень, и, отбросив прежнее значение положить

Далее, имеем:

Поскольку должно быть заключено между этими границами, то ясно, что

(так что требуемая точность превзойдена!).

(б) В промежутке [0, 1] первая производная сохраняет знак минус, но вторая производная ( меняет знак, обращаясь в нуль в точке Это обстоятельство заставляет предварительно еще сузить промежуток. Испытывая значения получаем: так как то содержится внутри промежутка [0,5, 1], где сохраняет знак плюс (случай 11). И здесь правило Ньютона применяем к левым концам. Имеем:

Округление в сторону корня не привело к перескакиванию через корень, ибо Наконец,

так, что и можно положить

(в) В промежутке [1, 2] вторая производная сохраняет знак плюс, но первая производная меняет знак, обращаясь в 0 при

Испытываем в то время как так что в этом промежутке имеет знак плюс (случай I). Имеем:

через корень и здесь не перескочили, ибо Наконец,

так что и

Замечание. Так как сумма корней, по известной теореме алгебры, должна равняться 0,5, то этим можно воспользоваться для проверки.

2) Уравнение

имеет два вещественных корня: один между - 11 и другой - между 9 и 10. Вычислить их с точностью до 0,00001.

(а) В промежутке

(случай II). Получаем:

в первом случае мы округлили в сторону корня, но через него не перескочили. Далее,

(то же замечание). Наконец,

так что

(даже с большей точностью, чем требовалось).

(6) В промежутке [9, 10] (случай I).

Здесь:

так что, очевидно,

3) Рассмотрим уравнение

Построив графики функций (рис. 88), видим, что они пересекаются в бесчисленном множестве точек, так что наше уравнение имеет бесчисленное множество корней. По графику видно также, что наименьший положительный корень близок к 0,7; поставим себе задачей вычислить его с точностью до 0,000001.

Рис. 88.

[Здесь следует иметь в виду замечание об округлении в долях градуса, которое было сделано по поводу задачи 4) в 156.]

Подставляя в функцию значения

получаем в первом случае отрицательный результат, а во втором - положительный, значит, Обе производные в этом промежутке имеют знак плюс (случай I).

Схема вычислений:

первую поправку «округляем» до а вторую - до так что окончательно

Далее,

откуда и получаем с требуемой точностью:

4) В заключение вернемся к уравнению

Мы видели в 81, что оно имеет корень между Установить, какую точность в определении этого корня дает всего лишь двукратное применение комбинированного метода.

Схема вычислений (случай I):

Таким образом,