174. Равномерная непрерывность.

Мы знаем, что непрерывность функции в определенной точке множества , где функция задана, на «языке выражается так: по любому должно найтись такое что неравенство

выполняется для всякой точки из лишь только

Пусть теперь функция непрерывна во всем множестве тогда возникает вопрос, можно ли по данному найти такое которое годилось бы - в указанном смысле - для всех точек из одновременно. Если это возможно (при любом ), то говорят, что функция в равномерно непрерывна.

Теорема Кантора. Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области то она будет и равномерно непрерывна в

Доказательство поведем от противного. Допустим, что для некоторого числа не существует числа которое годилось бы одновременно для всех точек области .

Возьмем последовательность стремящихся к 0 положительных чисел

Так как ни одно из чисел не может годиться - в указанном смысле - одновременно для всех точек области то для каждого найдется в такая конкретная точка для которой не годится. Это значит, что существует в точка для которой

и тем не менее

Из ограниченной последовательности точек по теореме Больцано-Вейерштрасса, извлечем такую частичную последовательность что причем предельная точка необходимо принадлежит области (ввиду ее замкнутости).

Так как, далее,

и, при возрастании то

так что и

Ввиду непрерьюности функции в точке принадлежащей области мы должны иметь как

так и

откуда

что оказывается в противоречии с неравенством (8). Теорема доказана.

Для формулировки вытекающего отсюда следствия нам понадобится понятие диаметра точечного множества: так называется точная верхняя граница расстояний между любыми двумя точками множества.

Следствие. Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области то по данному найдется такое что, на какие бы частичные замкнутые же области с диаметрами,

меньшими ни разбить эту область, колебание функции в каждой части в отдельности будет меньше е.

Достаточно за 6 взять то число, о котором говорится в определении равномерной непрерывности. Если диаметр частичной области меньше то расстояние любых двух ее точек меньше . Отсюда и подавно так что . Если эти точки выбрать так, чтобы были соответственно, наибольшим и наименьшим из значений функции в области то и получим требуемое утверждение.

Легко видеть, что доказанная теорема без изменений переносится (подобно теоремам Вейерштрасса) на случай функции, непрерывной в любом ограниченном замкнутом множестве