§ 2. Теоремы о пределах, облегчающие нахождение пределов

28. Предельный переход в равенстве и неравенстве.

Соединяя две варианты знаками равенства или неравенства, мы всегда подразумеваем, что речь идёт о соответствующих значениях их, т. е. о значениях с одним и тем же номером.

1° Если две варианты при всех их изменениях равны: причем каждая из них имеет конечный предел:

то равны и эти пределы:

Непосредственно следует из единственности предела

Этой теоремой пользуются обычно в форме предельного перехода в равенстве: из заключают, что

2° Если для двух вариант всегда выполняется неравенство причем каждая из них имеет конечный предел:

то и

Допустим противное: пусть Рассуждая так же, как и в 26, 5°, возьмем число между а и b, так что Тогда, с одной стороны, найдется такой номер что для будет с другой же - найдется и такой номер что для окажется Если больше обоих чисел то для номеров будут одновременно выполняться оба неравенства

что противоречит предположению. Теорема доказана.

Эта теорема устанавливает допустимость предельного перехода в неравенстве (соединенном с равенством): из можно заключить, что

Конечно, знак всюду может быть заменен знаком

Мы обращаем внимание читателя на то, что из строгого неравенства вообще говоря, не вытекает строгое же неравенство а только, по-прежнему: Так, например, - при всех и, и тем не менее

При установлении существования и величины предела варианты иногда бывает полезна теорема:

3° Если для вариант всегда выполняются неравенства

причем варианты стремятся к общему пределу а:

то и варианта имеет тот же предел:

Зададимся произвольным По этому прежде всего, найдётся такой номер что при

Затем, найдется такой номер что при

Пусть будет больше обоих чисел и тогда, при выполняются оба предшествующих двойных неравенства, и потому

Окончательно, при

Таким образом, действительно,

Из этой теоремы, в частности, следует: если при всех

и известно, что то и Впрочем, это очень легко доказать и непосредственно.

Теоремы 1°, 2° и 3° легко распространяются и на случай бесконечных пределов.