190. Теорема о смешанных производных.

При рассмотрении примеров 1) и 2) бросается в глаза совпадение смешанных производных, взятых по одним и тем же переменным, но в разном порядке. Нужно сразу же отметить, что это вовсе не вытекает с необходимостью из определения смешанных производных, так что существуют случаи, когда упомянутого совпадения нет.

Для примера рассмотрим функцию

Имеем

Придав х частное значение, равное нулю, будем иметь при любом у (в том числе и при . Продифференцировав эту функцию по у, получим Отсюда следует, в частности, что в точке (0, 0) будем иметь

Вычислив таким же образом в точке (0, 0), получим

Итак, для рассматриваемой функции

Тем не менее, подмеченное на примерах совпадение смешанных производных, отличающихся лишь порядком дифференцирований, не

случайно: оно имеет место в широком классе случаев - при соблюдении определенных условий. Начнем со следующей простой теоремы.

Теорема. Предположим, что определена в (открытой) области 2) в этой области существуют первые производные и , а также вторые смешанные производные и, наконец, 3) эти последние производные как функции х и у, непрерывны в некоторой точке области Тогда в этой точке

Доказательство. Рассмотрим выражение

где к отличны от нуля, например, положительны, и притом настолько малы, что в содержится весь прямоугольник такими мы их фиксируем до конца рассуждения.

Введем теперь вспомогательную функцию от х:

которая в промежутке в силу 2), имеет производную

и, следовательно, непрерывна. С помощью этой функции выражение которое равно

можно переписать в виде:

Так как для функции в промежутке вьшолняются все условия теоремы Лагранжа [112], то мы можем, по формуле конечных приращений, преобразовать выражение так:

Пользуясь существованием второй производной снова применим формулу конечных приращений, на этот раз - к функции от в промежутке . Окончательно, получим

Но выражение содержит х и у, с одной стороны, и А и с другой, одинаковым образом. Поэтому можно обменять их роли и, введя вспомогательную функцию

путем аналогичных рассуждений получить результат:

Из сопоставления (3) и (4), находим:

Устремив теперь к нулю, перейдем в этом равенстве к пределу. Ввиду ограниченности множителей в, аргументы и справа и слева стремятся, соответственно, к . А тогда в силу 3) окончательно и получим:

Таким образом, непрерывные смешанные производные всегда равны.

В приведенном выше примере эти производные

не имеют вовсе предела при и, следовательно, в точке (0, 0) терпят разрыв: к этому случаю наша теорема естественно неприложима.

Интересно поставить в связь вопрос о равенстве (1) с вопросом о повторных пределах, рассмотренным в п° 168. Если предположить существование первых производных, то, написав выражение в виде (2), легко усмотреть, что

и, аналогично,

Тогда, по самому определению производной,

Таким образом, вопрос о существовании и равенстве смешанных производных тождественен с вопросом о существовании и равенстве повторных пределов для выражения (зависящего от h и k).

Это замечание позволяет следующим образом усилить доказанную теорему.

Предположим, помимо существования первых производных, существование лишь одной из смешанных производных, например, в окрестности точки (исключая даже саму эту точку). Пусть, далее, существует конечный предел

Отсюда уже вытекает существование в точке обеих смешанных производных и равенство

Действительно, исходя из сделанных предположений, можно, как и выше, прийти к равенству (3), а затем, пользуясь существованием предела функции в точке установить существование двойного предела при одновременном стремлении и к к нулю:

Но простые пределы (5) и (5, по предположению, существуют: тогда по теореме п° 168, существуют также повторные пределы (6) и (6) и равны двойному. А это и значит, что существуют и равны между собой производные