27. Бесконечно большие величины.

Бесконечно малым величинам, в некотором смысле, противопоставляются бесконечно большие величины (или просто бесконечно большие).

Варианта называется бесконечно большой, если она по абсолютной величине становится и остается большей сколь угодно большого наперед заданного числа начиная с некоторого места:

Как и в случае бесконечно малых, здесь также следует подчеркнуть, что ни одно в отдельности взятое значение бесконечно большой величины не может быть квалифицировано, как «большое»; мы имеем здесь дело с переменной величиной, которая лишь в процессе своего изменения способна сделаться большей произвольно взятого числа Е.

Примерами бесконечно больших могут служить варианты

которые пробегают натуральный ряд чисел, но первая со знаком плюс, вторая со знаком минус, третья же - с чередующимися знаками.

Вот еще один пример бесконечно большой величины:

Действительно, каково бы ни было неравенство

выполняется, лишь только

так что за можно взять число

Если варианта является бесконечно большой и (по крайней мере, для достаточно больших сохраняет определенный знак или то, в соответствии со знаком, говорят, что варианта имеет предел или и пишут:

или

Можно было бы дать для этих случаев и независимое определение, заменив неравенство смотря по случаю, неравенством

откуда уже вытекает, соответственно, что или

Очевидно, что бесконечно большая величина в общем случае характеризуется соотношением:

Из приведенных вьппе примеров бесконечно больших величин, очевидно, варианта стремится к варианта стремится к - Что же касается третьей варианты: то про нее нельзя сказать ни что она стремится к ни что она стремится к —

Наконец, относительно варианты при можно сказать, что она стремится к а при нее предела нет.

С несобственными числами мы уже сталкивались в 10; следует помнить, что их применение имеет совершенно условный смысл, и остерегаться производить над этими «числами» арифметические операции. Вместо часто пишут просто

Введение бесконечных пределов не нарушает теоремы о единственности предела, установленной в предыдущем п° (см. действительно, как указано было там же (4°), варианта, имеющая конечный предел а, является ограниченной и, следовательно, никак не может одновременно стремиться к бесконечному пределу.

В заключение упомянем о простой связи, которая существует между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами:

Если варианта является бесконечно большой, то ее обратная величина будет бесконечно малой.

Возьмем любое число Так как то для числа найдется такой номер что

Тогда для тех же значений очевидно, будет

что и доказывает наше утверждение.

Аналогично можно доказать и обратное утверждение:

Если варианта (не обращающаяся в 0) является бесконечно малой, то обратная для нее величина будет бесконечно большой.