166. Сведение к случаю варианты.

Рассмотрим в -мерном пространстве последовательность точек

Мы будем говорить, что эта последовательность сходится к предельной точке если, при расстояние

Вместо этого можно было бы потребовать, чтобы координаты точки порознь стремились к соответствующим координатам точки т. е. чтобы было

Равносильность обоих определений, собственно, вытекает из доказанного в 161 утверждения об окрестностях двух типов. Действительно, условие (7) означает, что, каково бы ни было число точка при достаточно большом к удовлетворяет неравенству

т. е. попадает в (открытую) сферу радиуса с центром в точке требование же (8) имеет тот смысл, что, каково бы ни было число названная точка - снова при достаточно большом к - удовлетворяет неравенствам

т. е. содержится в (открытом) параллелепипеде

с центром в той же точке.

Пусть теперь точка является точкой сгущения некоторого множества в -мерном пространстве. Тогда из всегда можно извлечь такую последовательность отличных от точек: которая сходилась бы к как к предельной точке.

Для доказательства зададимся положительной вариантой По определению точки сгущения [162], в каждой сферической окрестности точки радиуса найдется (отличная от точка множества Последовательность очевидно, и будет искомой.

Теперь можно сформулировать такое условие, необходимое и достаточное для существования предельного равенства (6) [или (6)]: если извлечь из последовательность отличных от точек, сходящуюся к то числовая последовательность состоящая из соответствующих значений функции, всегда сходится к А.

Необх одимость. Пусть имеет место , и по заданному найдено соответствующее ему в согласии с определением предыдущего п°. Если последовательность точек сходится к , то - для достаточно больших k - будет

а это влечет за собой неравенство

которое и показывает, что

Достаточность. Предположим теперь, что выполняется высказанное выше условие. Для того чтобы доказать наличие равенства в соответствии с определением предыдущего п°, допустим противное тому, что содержится в этом определении. Тогда для некоторого числа уже не существует соответствующего т. е., какое бы число ни взять, всегда в найдется такая (отличная от точка М, что одновременно

Взяв положительную варианту станем за поочередно брать числа для каждого найдется, по сказанному, своя (отличная от точка для которой

Построенная таким образом последовательность точек сходится к и в то же время числовая последовательность не может иметь пределом А, вопреки условию. Это противоречие и доказывает наше утверждение.

Читателю ясно, что высказанное условие дает другую форму (на «языке последовательностей») определения предела функции.

Таким образом, и для функции нескольких переменных удается вопрос о пределе функции свести к вопросу о пределе варианты Этот результат легко распространить и на случай, когда числа или некоторые из них, бесконечны.

Указанное обстоятельство позволяет распространить на новый тип предела все основные понятия и предложения развитой в главе I теории пределов - наподобие того, как это было сделано в 55 для предела функции от одной независимой переменной.