73. Суперпозиция непрерывных функций.

Обширные классы непрерывных функций могут быть построены с помощью суперпозиции [51] функций, непрерывность которых уже известна.

В основе этого лежит следующая

Теорема. Пусть функция определена в промежутке а функция - в промежутке X, причем значения последней функции не выходят за пределы 1, когда х изменяется в X. Если непрерывна в точке из X, а непрерывна в соответствующей точке из то и сложная функция будет непрерывна в точке

Доказательство. Зададимся произвольным числом Так как непрерывна при то по найдется такое что

С другой стороны, ввиду непрерывности при по а найдется такое что

По самому выбору числа а отсюда следует, далее,

Этим «на языке » и доказана непрерывность функции в точке Например, если степенную функцию представить в виде сложной функции:

которая получается от суперпозиции логарифмической и показательной функций, то из непрерывности последних двух функций уже будет вытекать непрерывность степенной функции.