53. Сведение к случаю варианты.

Если рассматривать варианту, как функцию от независимой переменной изменяющейся в пределах натурального ряда, то предел этой функции при как он определён в 52, очевидно, совпадает с пределом варианты, определённым в 23 и 27 (роль там играет Таким образом, предел варианты есть частный случай предела функции.

Однако и, обратно, в некотором смысле предел функции может быть сведён к пределу варианты.

Пусть множество имеет точку сгущения а (здесь а может быть как конечным числом, так и бесконечностью того или

иного знака). Тогда из 37 (бесчисленным множеством способов) можно извлечь такую последовательность

значений х (отличных от а), которая имела бы своим пределом в

Действительно, если а конечно, то, задавшись положительной вариантой стремящейся к нулю, в каждой окрестности точки а найдём по точке из 37, отличной от а: так как то . При зададимся положительной вариантой и для каждого найдём значение из 37, для которого очевидно,

Последовательности (6) значений аргумента отвечает последовательность значений функции

Легко усмотреть, что при наличии равенства (2) эта последовательность всегда имеет предел А. Остановимся для примера на случае конечных а и А.

Если задано произвольное число то сначала возьмём то число которое ему соответствует в силу определения предела (2). По числу 8, ввиду сходимости последовательности (6) к а, найдётся [23] такой номер что для будет выполняться неравенство а следовательно [см. (1)], и Этим и доказана сходимость последовательности (7) к А.

Оказывается, что справедливо и обратное утверждение:

Допустим теперь, что какую бы последовательность (6) (из 37) с пределом а ни пробегала независимая переменная х, соответствующая последовательность (7) значений функции всегда имеет предел А. Тогда это число А будет пределом функции — в согласии с определением в 52.

Ограничимся и здесь случаем конечных а и А. Рассуждая от противного, предположим, что А не будет пределом функции в упомянутом смысле. Тогда для некоторого числа уже не существовало бы соответствующего ; т. е., какое бы малое ни взять, всегда найдётся хоть одно значение переменной (отличное от а), для которого

Возьмём последовательность положительных чисел стремящихся к нулю. На основании только что сказанного, для каждого числа найдётся такое значение что

Из этих значений, таким образом, составляется некоторая последовательность

для которой

так как

По допущению теоремы, соответствующая последовательность значений функции

должна стремиться к А, а это невозможно ввиду того, что при всех имеем . Полученное противоречие и доказывает наше утверждение.

Таким образом, мы в сущности приходим ко второму определению понятия предела функции, которое в 52 было выражено, так сказать, «на языке Теперь же мы можем выразить его «на языке последовательностей», понимая равенство (2) в том смысле, что для любой последовательности (6), имеющей предел а, соответствующая последовательность (7) имеет предел А.

В заключение отметим, что достаточно предположить одно лишь существование предела для каждой, последовательности (7), отвечающей любой сходящейся к а последовательности (6), чтобы отсюда уже вытекало совпадение всех этих пределов. Действительно, допустим, что для двух последовательностей:

стремящихся к а, имели бы

где Тогда, перемежая члены обеих последовательностей, составим новую последовательность:

она, очевидно, стремится к а, поскольку для достаточно больших отличаются от а произвольно мало. В то же время соответствующая последовательность значений функции:

вопреки предположению, не имеет вовсе предела, так как частичные последовательности из её членов, стоящих на чётных или нечётных местах, стремятся к различным пределам [40]. Полученное противоречие и доказывает, что последовательности вида (7) на деле стремятся все к одному и тому же пределу.