120. Нарушение инвариантности формы для дифференциалов высших порядков.

Вспоминая, что (первый) дифференциал функции обладает свойством инвариантности формы, естественно поставить вопрос, обладают ли подобным свойством дифференциалы высших порядков. Покажем, например, что уже второй дифференциал этим свойством не обладает.

Итак, пусть так что у можно рассматривать как сложную функцию от Ее (первый) дифференциал по t можно написать в форме где есть функция от Вычисляем второй дифференциал по Дифференциал можно, снова пользуясь инвариантностью формы (первого) дифференциала, взять в форме так что окончательно

в то время как при независимой переменной х второй дифференциал имел вид Конечно, выражение (3) для является более общим: если, в частности, х есть независимая переменная, то - и остается один лишь первый член.

Возьмем пример. Пусть так что, покуда х - независимая переменная:

Положим теперь тогда и

Новое выражение для может быть получено и из старого, если туда подставить Иначе обстоит дело с сделав такую же подстановку, мы получим вместо Если же продифференцировать равенство по t, считая функцией от t, то, наподобие (3), придем к формуле

Подставив сюда получим уже правильный результат:

Итак, если х перестает быть независимой переменной, то дифференциал второго порядка выражается через дифференциалы х двучленной формулой (3). Для дифференциалов третьего и дальнейших порядков число добавочных (при переходе к новой независимой переменной) членов еще возрастет. В соответствии с этим в выражениях высших производных через дифференциалы

уже нельзя дифференциалы брать по любой переменной, но лишь по переменной х.