252. Примеры.

В этом случае [ср. 99, 28)]

с другой стороны,

Поэтому [см. (7а)]

Так как то же выражение, как нетрудно видеть, имеет и отрезок нормали то приходим к такому способу построения центра кривизны С: отрезок нормали (см. рис.) нужно отложить по нормали же, но в обратную (положительную) сторону.

2) Астроида: (рис. 116)

Производные можно найти, не разрешая уравнения, по методу дифференцирования неявных функций:

откуда

затем:

откуда

Подставляя значения у и у" в формулу (7а), получим

3) Циклоида:

(рис. 118).

Так как [231, 4)] то с другой же стороны, как легко вычислить,

так что

В таком случае для вычисления можно воспользоваться основной формулой (6):

Если вспомнить выведенное нами в 231, 4) выражение для отрезка нормали и, то окажется, что

Отсюда - построение центра кривизны С, ясное из чертежа.

4) Эвольвента круга:

(рис. 121).

Здесь [231, 6)], так что . С другой стороны,

отсюда

Поэтому также получаем просто

Таким образом, точка касания В (точка схода нити с круга) и будет центром кривизны для траектории конца М нити. Геометрическим местом центров кривизны нашей кривой оказывается исхо дный круг.

[Здесь мы сталкиваемся с частным осуществлением одного факта, который в общем виде будет рассмотрен нами ниже, в 255.]

5) Логарифмическая спираль: (рис. 134).

Имеем Подставляя это в формулу (76), найдем:

Но так что выражение для можно написать в виде

а тогда непосредственно из чертежа ясно, что полярный отрезок нормали . Следовательно, центром кривизны будет точка это дает легкий способ построения центра кривизны для логарифмической спирали.

6) Кардиоида: (рис. 135).

Здесь Легко подсчитать, что

остается еще вычислить

а тогда, по формуле (76), сразу получаем

Вспоминая [233, 4)] выражение полярного отрезка нормали для кардиоиды, видим, что

7) Лемниската: (рис. 126).

Мы видели в 233, 5), что в этом случае так что Но тогда по формуле (6) сразу получаем

Так как нормаль к лемнискате мы строить умеем, то отсюда получается и способ построения центра кривизны.

8) Парабола:

Пользуясь здесь методами дифференцирования неявных функций, найдем последовательно

Теперь, по формуле (7а),

Вспоминая [231, 1)], что отрезок нормали получаем

9) Эллипс и гипербола:

Дифференцируем это равенство дважды:

далее,

Как и только что, отсюда

Мы имели уже [231, 2)] для этого случая выражение отрезка нормали

так что

Известно, что как для эллипса, так и для гиперболы полупараметр выражается так: . Поэтому и здесь для получается то же окончательное выражение, что и для параболы.

Для всех трех конических сечений радиус кривизны оказывается пропорционален кубу отрезка нормали.

10) В заключение скажем несколько слов об одном практическом вопросе, в котором как раз и используется существенно изменение кривизны вдоль кривой: речь идет о так называемых переходных кривых, применяемых при разбивке железнодорожных закруглений.

Как устанавливается в механике, при движении материальной точки по кривой развивается центробежная сила, величина которой определяется формулой

где - масса точки, - ее скорость, радиус кривизны кривой в рассматриваемой ее точке.

Если бы прямолинейная часть железнодорожного пути непосредственно примыкала к закруглению, разбитому по дуге круга (рис. 159 а), то при переходе на это закругление центробежная сила возникала бы мгновенно, создавая резкий и сильный толчок, вредный для подвижного состава и для верхнего строения пути.

Рис. 159.

Для избежания этого прямолинейную часть пути сопрягают с круговой с помощью некоей переходной кривой (рис. 159 б). Вдоль нее радиус кривизны постепенно убывает от бесконечного значения - в точке стыка с

прямолинейной частью - до величины радиуса круга - в точке стыка с круговой дугой, и соответственно этому постепенно нарастает центробежная сила. В качестве переходной кривой чаще всего используется кубическая парабола . В этом случае, очевидно, имеем

так что для радиуса кривизны получается выражение

При имеем наша кривая в начале координат касается оси х и имеет нулевую кривизну

Иногда в роли переходной кривой применяется и лемниската.