83. Существование обратной функции.

Применим изученные в предыдущем п° свойства непрерывной функции к установлению, при некоторых предположениях, существования однозначной обратной функции и ее непрерывности

Теорема. Пусть функция определена, монотонно возрастает (убывает) и непрерывна в некотором промежутке X.

Тогда в соответствующем промежутке значений этой функции существует однозначная обратная функция также монотонно возрастающая [убывающая) и непрерывная.

Доказательство. Ограничимся случаем возрастающей функции. Мы видели выше, что значения непрерывной функции заполняют сплошь некоторый промежуток так что для каждого значения из этого промежутка найдется хоть одно такое значение (из X), что

Но ввиду монотонности этой функции такое значение может найтись только одно: если - или то, соответственно, и или

Сопоставляя именно это значение произвольно взятому из мы получим однозначную функцию

обратную для функции

Легко видеть, что эта функция подобно , также монотонно возрастает. Пусть

тогда, по самому определению функции одновременно

Если бы было то, в силу возрастания функции , было бы и что противоречит условию. Не может быть и ибо тогда было бы и что также противоречит условию. Итак, возможно только неравенство так что действительно, возрастает.

Рис. 32.

Наконец, чтобы доказать непрерывность функции достаточно сослаться на теорему в 71, 2°, условия которой выполнены: названная функция монотонна, и ее значения, очевидно, заполняют сплошь промежуток X.

Все утверждения теоремы геометрически очевидны, их легко «прочитать» по рис. 32.

С помощью доказанной теоремы можно наново установить ряд уже известных нам результатов.

Если применить ее к функции (х - натуральное число) в промежутке то придем к существованию и непрерывности (арифметического) корня для у в Исходя из функции промежутке докажем существование и непрерывность логарифма в промежутке Наконец, рассматривая функции первую - в промежутке а вторую - в открытом промежутке убедимся в существовании и непрерывности обратных им функций соответственно, в промежутках

[При этом предполагается, что предварительно уже доказана непрерывность функций - без ссылки на существование обратных им функций (иначе получился бы порочный круг). Такие доказательства и были даны в 68; соображения же п° 72, очевидно, здесь непригодны.

Рассмотрим еще такой пример.

Пусть для

Легко показать, что эта функция будет монотонно возрастающей (в узком смысле). Именно, если - соответствующие значения у, то

Но [см. (2), 68]

откуда и следует, что

Применив к этому случаю теорему, убеждаемся в том, что и х является однозначной функцией от у, и т. д.

Приведенный пример представляет интерес тем, что соприкасается с одной задачей теоретической астрономии. Уравнение

есть знаменитое уравнение Кеплера, которое связывает среднюю аномалию М планеты с ее эксцентрической аномалией Е (к есть эксцентриситет планетной орбиты). Мы доказали, таким образом, что, каково бы ни было значение средней аномалии, уравнение Кеплера, действительно, однозначно определяет значение эксцентрической аномалии.