Случай, когда и 
был оставлен нами неисследованным.
Предположим теперь, что функция 
имеет в точке 
последовательных производных, причем все они, вплоть до 
в этой точке обращаются в нуль:
между тем как 
Разложим приращение 
функции 
по степеням разности 
по формуле Тейлора с дополнительным членом в форме Пеано [124, (10а)]. Так как все производные порядков меньших, чем 
равны в точке 
нулю, то
Вследствие того, что 
при 
при достаточной близости 
знак суммы в числителе будет совпадать со знаком 
как для 
так и для 
Рассмотрим два случая.
- нечетное число: 
При переходе от значений х, меньших, чем 
к значениям, большим, чем 
выражение 
изменит знак на обратный, а так как знак первого множителя при этом не меняется, то и знак разности 
изменится. Таким образом, в точке 
функция 
не может иметь экстремума, ибо вблизи этой точки принимает значения как меньшие, так и большие, чем 
- четное число: 
. В этом случае разность 
не меняет знака при переходе от х меньших, чем 
к большим, так как 
при всех х. Очевидно, вблизи 
как слева, так и справа знак разности 
совпадает со знаком числа 
Значит, если 
то 
вблизи точки 
и в точке 
функция 
имеет (собственный) минимум; если же 
то функция имеет (собственный) максимум.
Отсюда получаем такое правило:
Если первая из производных, не обращающихся в точке 
в нуль, есть производная нечетного порядка, функция не имеет в точках 
ни максимума, ни минимума. Если такой производной является производная четного порядка, функция в точке 
имеет максимум или минимум, смотря по тому, будет ли эта производная отрицательна или положительна.
Например, для функции 
точка 
является стационарной, так как в этой точке обращается в нуль производная
Далее:
Так как в нуль не обратилась первой производная четного порядка, то налицо экстремум, а именно минимум, ибо 
Замечание. Хотя выведенный выше критерий решает вопрос об экстремуме в весьма широком классе случаев, но, теоретически говоря, он все же не является всеобъемлющим: функция, не будучи тождественно постоянной, может иметь в окрестности испытуемой точки производные всех порядков, которые, однако, в этой точке все зараз обращаются в нуль.
В качестве примера рассмотрим (вместе с Коши) следующую функцию:
При 
она имеет производные всех порядков:
и, вообще,
где 
есть целый многочлен (степени 
). В общности этого закона легко убедиться по методу математической индукции.
Установим теперь, что и в точке 
для нашей функции существуют производные всех порядков, причем все равны нулю. Действительно, прежде всего,
так что 
Допустим, что доказываемое утверждение верно для всех производных до 
порядка включительно. Тогда [см. (9)]
поскольку числитель представляет собой сумму членов вида 
Значит, 
По методу математической индукции утверждение оправдано полностью.
Хотя непосредственно ясно, что данная функция при 
имеет минимум, но установить этот факт с помощью рассмотрения ее последовательных производных в этой точке - не удалось бы.
то функция 
достигает в точке 
минимума; если же 
то функция имеет в этой точке максимум.
